复数的定义与表示
复数是数学中一种特殊的数，它由实部和虚部组成。通常表示为 ( a + bi )，其中 ( a ) 是实部，( b ) 是虚部，( i ) 是虚数单位，满足 ( i^2 = -1 )。
实部与虚部的理解
- 实部：复数中的实数部分，例如在 ( 3 + 4i ) 中，3 就是实部。
- 虚部：复数中的虚数部分，通常带有 ( i ) 符号，例如在 ( 3 + 4i ) 中，4i 就是虚部。
复数的运算
加法
复数加法遵循实部与实部相加，虚部与虚部相加的规则。例如：
[ (3 + 4i) + (2 + 5i) = (3 + 2) + (4 + 5)i = 5 + 9i ]
减法
复数减法与加法类似，也是分别对实部和虚部进行运算。例如：
[ (3 + 4i) - (2 + 5i) = (3 - 2) + (4 - 5)i = 1 - i ]
乘法
复数乘法稍微复杂一些，需要使用到分配律和 ( i^2 = -1 ) 的性质。例如：
[ (3 + 4i) \times (2 + 5i) = 3 \times 2 + 3 \times 5i + 4i \times 2 + 4i \times 5i ] [ = 6 + 15i + 8i - 20 ] [ = -14 + 23i ]
除法
复数除法需要将除数和被除数都转化为标准形式，然后进行乘法运算。例如：
[ \frac{3 + 4i}{2 - i} ]
为了消除分母中的虚数部分，我们可以将分子和分母同时乘以分母的共轭复数 ( 2 + i )：
[ \frac{(3 + 4i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} ] [ = \frac{6 + 3i + 8i + 4i^2}{4 + 2i - 2i - i^2} ] [ = \frac{6 + 11i - 4}{4 + 1} ] [ = \frac{2 + 11i}{5} ] [ = \frac{2}{5} + \frac{11}{5}i ]
复数的几何表示
复数也可以在复平面上表示，其中实部表示横坐标，虚部表示纵坐标。例如，复数 ( 3 + 4i ) 在复平面上表示为点 ( (3, 4) )。
精选习题解析
习题1
计算 ( (2 + 3i) + (4 - 5i) )。
解析：
[ (2 + 3i) + (4 - 5i) = (2 + 4) + (3 - 5)i = 6 - 2i ]
习题2
计算 ( (3 + 2i) \times (4 - i) )。
解析：
[ (3 + 2i) \times (4 - i) = 3 \times 4 + 3 \times (-i) + 2i \times 4 + 2i \times (-i) ] [ = 12 - 3i + 8i - 2i^2 ] [ = 12 + 5i + 2 ] [ = 14 + 5i ]
习题3
计算 ( \frac{5 + 2i}{3 - i} )。
解析：
[ \frac{5 + 2i}{3 - i} = \frac{(5 + 2i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)} ] [ = \frac{15 + 5i + 6i + 2i^2}{9 + 3i - 3i - i^2} ] [ = \frac{15 + 11i - 2}{9 + 1} ] [ = \frac{13 + 11i}{10} ] [ = \frac{13}{10} + \frac{11}{10}i ]
通过以上解析，相信你已经对复数运算有了更深入的理解。记住，多加练习是掌握复数运算的关键。