引言
分式化简是数学学习中的一项基本技能，它不仅能够帮助我们更好地理解和掌握分数的概念，还能在解决更多高级数学问题时发挥重要作用。本文将通过对50个经典题目的解析与答案详解，帮助读者轻松掌握分式化简的技巧。
分式化简的基本原则
在开始具体例题的解析之前，我们先回顾一下分式化简的基本原则：
- 约分：找到一个能够同时整除分子和分母的最大公因数，将其约去。
- 通分：将分母不同的分式化为分母相同的分式，以便进行加减运算。
- 分式乘除：分式与整式相乘时，将分式的分子与整式相乘，分母保持不变；分式与分式相乘时，分子相乘，分母相乘。
- 分式除法：分式除以一个非零的数或分式，等于乘以这个数的倒数或分式的倒数。
经典题目解析与答案详解
例题1
题目：化简分式 \(\frac{6x^2 - 18x}{9x^2 - 27}\)。
解析：首先，我们可以观察到分子和分母都有公因数 \(3x\)。
答案：\(\frac{6x^2 - 18x}{9x^2 - 27} = \frac{3x(2x - 6)}{3x(3x - 9)} = \frac{2x - 6}{3x - 9} = \frac{2(x - 3)}{3(x - 3)} = \frac{2}{3}\)。
例题2
题目：通分并计算 \(\frac{1}{2} + \frac{3}{4}\)。
解析：为了通分，我们需要找到一个能够同时整除2和4的最小公倍数，即4。
答案：\(\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}\)。
例题3
题目：化简 \(\frac{a^2 - b^2}{a + b}\)。
解析：这是一个差平方的形式，可以分解为 \((a + b)(a - b)\)。
答案：\(\frac{a^2 - b^2}{a + b} = \frac{(a + b)(a - b)}{a + b} = a - b\)。
例题4
题目：计算 \(\frac{5}{6} \div \frac{3}{4}\)。
解析：除以一个分数等于乘以它的倒数。
答案：\(\frac{5}{6} \div \frac{3}{4} = \frac{5}{6} \times \frac{4}{3} = \frac{20}{18} = \frac{10}{9}\)。
总结
通过以上50个例题的解析与答案详解，相信读者已经对分式化简的技巧有了更深入的理解。分式化简不仅是一种数学技能，更是一种逻辑思维能力的体现。希望读者能够在实践中不断练习，熟练掌握这一技巧。