引言
双曲线是高中数学中一个重要的几何图形，它不仅在数学竞赛中经常出现，也在实际应用中有着广泛的应用。本文将针对双曲线的相关难题，提供精选例题解析及答案揭晓，帮助读者更好地理解和掌握双曲线的性质和解题技巧。
例题一：双曲线的定义及标准方程
题目：已知双曲线的焦点在x轴上，且a=3，b=2，求该双曲线的标准方程。
解析：
- 根据双曲线的定义，其标准方程为 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)。
- 已知a=3，b=2，代入标准方程得到 \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1\)。
答案：该双曲线的标准方程为 \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1\)。
例题二：双曲线的渐近线
题目：已知双曲线 \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\)，求其渐近线方程。
解析：
- 根据双曲线的性质，其渐近线方程为 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0\)。
- 将双曲线方程中的1替换为0，得到 \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 0\)。
- 整理得到渐近线方程为 \(\frac{3x}{4} \pm \frac{2y}{3} = 0\)。
答案：该双曲线的渐近线方程为 \(\frac{3x}{4} \pm \frac{2y}{3} = 0\)。
例题三：双曲线的切线
题目：已知双曲线 \(\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1\)，求点P(5,0)处的切线方程。
解析：
- 根据双曲线的切线方程公式，设切线方程为 \(y = kx + b\)。
- 将点P(5,0)代入切线方程，得到 \(0 = 5k + b\)。
- 将切线方程代入双曲线方程，得到 \((25k^2 - 16) - (25k^2 + 16kb + 16b^2) = 0\)。
- 解方程组 \(\begin{cases} 5k + b = 0 \\ 25k^2 - 16 - 25k^2 - 16kb - 16b^2 = 0 \end{cases}\)，得到 \(k = -\frac{4}{5}\)，\(b = 4\)。
- 切线方程为 \(y = -\frac{4}{5}x + 4\)。
答案：点P(5,0)处的切线方程为 \(y = -\frac{4}{5}x + 4\)。
总结
通过以上例题解析及答案揭晓，相信读者对双曲线的相关知识有了更深入的理解。在解决双曲线问题时，要注意掌握双曲线的定义、标准方程、渐近线、切线等基本性质，并结合具体题目进行分析和求解。