一元二次不等式是高中数学中的重要内容，它不仅涉及到基本的代数运算，还涉及到函数图像和几何意义。本文将深入探讨一元二次不等式恒成立的奥秘，揭示公式背后的数学魅力。
一元二次不等式的基本概念
一元二次不等式是指形如 (ax^2 + bx + c > 0)（或 (ax^2 + bx + c < 0)）的不等式，其中 (a)、(b)、(c) 是实数，且 (a \neq 0)。一元二次不等式的解集通常是实数轴上的一段区间。
一元二次不等式恒成立的条件
一元二次不等式恒成立，意味着对于所有实数 (x)，不等式 (ax^2 + bx + c > 0)（或 (ax^2 + bx + c < 0)）都成立。要使一元二次不等式恒成立，需要满足以下条件：
(a > 0)：当 (a > 0) 时，抛物线开口向上，且函数的值随着 (x) 的增大而增大。此时，不等式 (ax^2 + bx + c > 0) 对于所有 (x) 都成立。
(\Delta < 0)：一元二次方程 (ax^2 + bx + c = 0) 的判别式 (\Delta = b^2 - 4ac)。要使不等式恒成立，需要 (\Delta < 0)，这意味着方程没有实数解。
数学推导
下面我们通过数学推导来证明一元二次不等式恒成立的条件。
当 (a > 0) 时
由于 (a > 0)，抛物线开口向上。当 (x) 趋向于正无穷时，(ax^2) 项占主导地位，因此 (ax^2 + bx + c) 也趋向于正无穷。同理，当 (x) 趋向于负无穷时，(ax^2) 项依然占主导地位，(ax^2 + bx + c) 也趋向于正无穷。因此，对于所有实数 (x)，(ax^2 + bx + c > 0) 都成立。
当 (\Delta < 0) 时
由于 (\Delta < 0)，方程 (ax^2 + bx + c = 0) 没有实数解。这意味着抛物线与 (x) 轴不相交，即抛物线完全位于 (x) 轴的同一侧。结合 (a > 0) 的条件，我们知道抛物线开口向上，因此对于所有实数 (x)，(ax^2 + bx + c > 0) 都成立。
应用实例
以下是一个应用实例，展示如何求解一元二次不等式恒成立的区间。
实例：求解不等式 (x^2 - 4x + 3 > 0) 的解集。
解答：
计算判别式：(\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4)。
由于 (\Delta > 0)，方程 (x^2 - 4x + 3 = 0) 有两个实数解。
求解方程：(x^2 - 4x + 3 = 0) 可以分解为 ((x - 1)(x - 3) = 0)，因此 (x = 1) 或 (x = 3)。
分析不等式的解集：由于 (a = 1 > 0)，抛物线开口向上。在 (x = 1) 和 (x = 3) 处，抛物线与 (x) 轴相交。因此，不等式 (x^2 - 4x + 3 > 0) 的解集为 ((-∞, 1) \cup (3, +∞))。
总结
一元二次不等式恒成立是高中数学中的一个重要概念。通过本文的探讨，我们揭示了公式背后的数学魅力，并学会了如何判断一元二次不等式恒成立的条件。在实际应用中，我们可以利用这些知识解决实际问题。