引言
数学难题常常让人望而却步，但掌握正确的解题方法可以让难题变得迎刃而解。本文将以谢惠民例题5.4.6为例，详细解析解题的关键步骤，帮助读者轻松掌握数学难题的解题技巧。
例题回顾
谢惠民例题5.4.6如下： 已知函数\(f(x)=x^3-3x+1\)，求证：对于任意实数\(x\)，都有\(f(x)\geqslant 1\)。
解题步骤
步骤一：函数求导
首先，我们对函数\(f(x)=x^3-3x+1\)求导，得到一阶导数： $\(f'(x)=3x^2-3\)$
步骤二：求导数为零的点
将一阶导数\(f'(x)\)置为零，解得： $\(3x^2-3=0\)\( \)\(x^2=1\)\( \)\(x=\pm 1\)$
步骤三：分析函数的增减性
通过求导数，我们可以得到以下结论：
- 当\(x<-1\)时，\(f'(x)>0\)，函数\(f(x)\)单调递增；
- 当\(-1<x<1\)时，\(f'(x)<0\)，函数\(f(x)\)单调递减；
- 当\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)，函数\(f(x)\)单调递增。
步骤四：求函数的最小值
由于\(f(x)\)在\(x=-1\)处取得局部极小值，因此我们计算\(f(-1)\)： $\(f(-1)=(-1)^3-3(-1)+1=3\)$
步骤五：证明结论
由于\(f(x)\)在\(x=-1\)处取得局部极小值3，且当\(x\)趋于正无穷或负无穷时，\(f(x)\)趋于正无穷，因此对于任意实数\(x\)，都有\(f(x)\geqslant 1\)。
总结
通过以上步骤，我们成功地破解了谢惠民例题5.4.6。解题过程中，关键步骤包括求导、求导数为零的点、分析函数的增减性、求函数的最小值以及证明结论。掌握这些步骤，可以帮助我们在面对类似的数学难题时更加得心应手。