引言
清华大学奥数竞赛作为国内最高水平的数学竞赛之一，其难度和深度一直备受瞩目。本文将深入解析一道具有代表性的清华奥数难题，通过详细的解题步骤和思路，帮助读者领略数学的魅力，同时提升解题技巧。
题目解析
题目描述
在一个正方形的四个角上分别放置四个相同的球，使得每个球都接触到与其相邻的两个球。求这个正方形的边长。
解题思路
建立模型：首先，我们需要建立一个模型来描述这个几何问题。在这个问题中，我们可以将正方形视为一个边长为 (x) 的正方形，四个球可以视为四个半径为 (r) 的球。
几何关系：根据题目描述，每个球都接触到与其相邻的两个球，这意味着每个球的中心到正方形边的距离为 (r)。
计算边长：利用几何关系，我们可以推导出正方形的边长 (x) 与球半径 (r) 之间的关系。
解题步骤
确定球心位置：设正方形的中心为 (O)，四个球心分别为 (A)、(B)、(C)、(D)。由于每个球都接触到与其相邻的两个球，因此 (OA = OB = OC = OD = r)。
构建直角三角形：以球心 (A) 为例，连接 (AO) 和 (AB)，则 (AOB) 是一个直角三角形，其中 (AO = r)，(AB = x)。
应用勾股定理：在直角三角形 (AOB) 中，根据勾股定理，我们有 (AB^2 = AO^2 + BO^2)。将 (AO = r) 和 (AB = x) 代入，得到 (x^2 = r^2 + r^2 = 2r^2)。
求解边长：从上述方程中解出 (x)，得到 (x = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2})。
结论
通过上述步骤，我们得到了正方形的边长 (x) 为 (r\sqrt{2})。这个结果表明，当四个球都接触到与其相邻的两个球时，正方形的边长是球半径的 (\sqrt{2}) 倍。
总结
本文通过解析一道清华奥数难题，展示了数学解题的思路和方法。在解决这类问题时，建立合适的模型、应用几何关系和勾股定理是关键。通过不断练习和思考，我们可以提升自己的数学思维和解题能力。