在数学学习中，恒成立证明是一个重要且具有挑战性的课题。它要求我们对函数、不等式、方程等数学对象进行深入研究和严格证明。掌握关键例题的解析技巧对于解决这类问题至关重要。以下将详细介绍恒成立证明的基本概念、常用方法以及一些典型例题的解析。
一、恒成立证明的基本概念
恒成立证明是指证明一个数学命题对于所有可能的输入值都成立。例如，证明一个不等式对于所有实数都成立，或者证明一个函数在定义域内对所有输入值都大于0。
二、恒成立证明的常用方法
- 分析法：从结论出发，逐步推导出已知条件，从而证明原命题成立。
- 综合法：从已知条件出发，逐步推导出结论，从而证明原命题成立。
- 反证法：假设结论不成立，通过推导出矛盾来证明原命题成立。
- 构造法：构造一个满足条件的特殊例子，通过证明这个例子成立来证明原命题成立。
三、关键例题解析技巧
1. 分析法例题
例题：证明对于所有实数x，不等式 ( x^2 + 1 \geq 0 ) 恒成立。
解析：
- 分析法是从结论出发，逐步推导出已知条件。
- 已知条件是 ( x^2 + 1 \geq 0 )。
- 我们知道 ( x^2 ) 对于所有实数x都是非负的，因此 ( x^2 + 1 ) 必然大于或等于1。
- 由此可得， ( x^2 + 1 \geq 0 ) 对于所有实数x恒成立。
2. 综合法例题
例题：证明对于所有实数x和y，不等式 ( (x+y)^2 \geq 4xy ) 恒成立。
解析：
- 综合法是从已知条件出发，逐步推导出结论。
- 已知条件是 ( x ) 和 ( y ) 为实数。
- 展开不等式 ( (x+y)^2 ) 得到 ( x^2 + 2xy + y^2 )。
- 我们知道 ( x^2 ) 和 ( y^2 ) 都是非负的，所以 ( x^2 + 2xy + y^2 \geq 2xy )。
- 因此，( (x+y)^2 \geq 4xy ) 对于所有实数x和y恒成立。
3. 反证法例题
例题：证明对于所有正实数x，方程 ( x^3 - 6x + 1 = 0 ) 至多有一个实根。
解析：
- 反证法是假设结论不成立，通过推导出矛盾来证明原命题成立。
- 假设方程 ( x^3 - 6x + 1 = 0 ) 有两个不同的实根 ( x_1 ) 和 ( x_2 )。
- 则 ( x_1^3 - 6x_1 + 1 = 0 ) 和 ( x_2^3 - 6x_2 + 1 = 0 )。
- 将两式相减，得到 ( (x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 - 6) = 0 )。
- 因为 ( x_1 ) 和 ( x_2 ) 是不同的实根，所以 ( x_1 - x_2 \neq 0 )。
- 这意味着 ( x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 - 6 = 0 )，与 ( x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 \geq 3\sqrt[3]{x_1^2x_1x_2} ) 矛盾。
- 因此，方程 ( x^3 - 6x + 1 = 0 ) 至多有一个实根。
4. 构造法例题
例题：证明存在一个实数 ( c )，使得对于所有实数 ( x )，不等式 ( x^3 - 3x + c \geq 0 ) 恒成立。
解析：
- 构造法是通过构造一个满足条件的特殊例子来证明原命题成立。
- 我们构造一个函数 ( f(x) = x^3 - 3x + c )。
- 为了使 ( f(x) \geq 0 ) 对于所有实数 ( x ) 恒成立，我们需要找到合适的 ( c ) 值。
- 通过计算 ( f’(x) = 3x^2 - 3 )，我们可以找到函数的临界点 ( x = -1 ) 和 ( x = 1 )。
- 在 ( x = -1 ) 处，( f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + c = -1 + 3 + c = 2 + c )。
- 为了使 ( f(x) \geq 0 ) 恒成立，我们需要 ( 2 + c \geq 0 )，即 ( c \geq -2 )。
- 因此，我们可以取 ( c = -2 )，这样对于所有实数 ( x )，不等式 ( x^3 - 3x + c \geq 0 ) 恒成立。
通过以上解析，我们可以看到掌握不同的证明方法对于解决恒成立证明问题至关重要。通过练习典型例题，我们可以加深对各种方法的理解，并在实际应用中灵活运用。