高中函数是数学学习中的一个重要环节，它不仅考验学生的基本数学能力，还考察了逻辑思维和解题技巧。掌握函数的核心技巧对于解决各种函数难题至关重要。以下是一些精选的例题，帮助你轻松破解高中函数难题。
例题一：函数的基本概念
题目：已知函数\(f(x) = 2x + 3\)，求\(f(2)\)的值。
解答思路：这是一个基础的函数应用题，主要考查对函数概念的理解。
解答过程：
1. 首先，识别题目中的函数表达式$f(x) = 2x + 3$。
2. 接着，根据题目要求求$f(2)$，即将$x=2$代入函数表达式中。
3. 计算：$f(2) = 2 \times 2 + 3 = 4 + 3 = 7$。
例题二：函数的单调性
题目：判断函数\(f(x) = x^2 - 4x + 3\)在\(x\)的哪些区间上是单调递增的。
解答思路：这是一个关于函数单调性的题目，需要通过求导来判断。
解答过程：
1. 首先，对函数$f(x) = x^2 - 4x + 3$求导，得到$f'(x) = 2x - 4$。
2. 然后，找出$f'(x) = 0$的解，即$2x - 4 = 0$，解得$x = 2$。
3. 通过判断$f'(x)$在$x=2$左右的符号，确定函数的单调性。
4. 当$x < 2$时，$f'(x) < 0$，函数在$x < 2$的区间上单调递减。
5. 当$x > 2$时，$f'(x) > 0$，函数在$x > 2$的区间上单调递增。
例题三：函数的极值
题目：求函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1\)的极值。
解答思路：这是一个求函数极值的问题，需要通过求导和判断导数的零点来解决。
解答过程：
1. 对函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$求导，得到$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$。
2. 解方程$f'(x) = 0$，得到$x^2 - 2x + \frac{4}{3} = 0$。
3. 使用求根公式解得$x = 1 \pm \sqrt{2}/3$。
4. 分别计算$f(1 + \sqrt{2}/3)$和$f(1 - \sqrt{2}/3)$，确定极值点。
5. 比较两个极值，得到函数的最大值和最小值。
例题四：函数的图像
题目：绘制函数\(f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1}\)的图像，并分析其性质。
解答思路：这是一个通过绘制函数图像来分析函数性质的题目。
解答过程：
1. 分析函数的定义域，由于分母不能为零，所以定义域为$x \neq \pm 1$。
2. 求函数的极限，如$\lim_{x \to 1^-} f(x)$和$\lim_{x \to 1^+} f(x)$，发现函数在$x=1$处有间断点。
3. 分析函数的奇偶性，由于$f(-x) = \frac{(-x)^2}{(-x)^2 - 1} = f(x)$，所以函数是偶函数。
4. 计算函数的导数，分析其单调性和凹凸性。
5. 使用计算器或绘图软件绘制函数图像，观察图像的性质。
通过以上例题，我们可以看到解决高中函数难题的关键在于理解函数的基本概念，掌握求导、分析单调性和极值的方法，以及能够绘制和解析函数图像。希望这些例题能够帮助你更好地掌握函数的核心技巧，轻松应对各类函数难题。