引言
2015年的数学一真题是众多考生备考过程中不可或缺的参考资料。本文将对2015年数一真题进行深度解析，帮助考生理解每一步解题思路，提升解题能力。
一、选择题部分
题目1：极限的计算
解题思路：本题考查了无穷小替换和洛必达法则的应用。
import sympy as sp
# 定义变量
x = sp.symbols('x')
# 定义表达式
expr = (x**2 - 1) / (x - 1)
# 计算极限
limit = sp.limit(expr, x, 1)
print(limit)
解析：通过洛必达法则，得到极限值为2。
题目2：一元二次方程的解
解题思路：本题考查了一元二次方程的求解方法。
# 定义一元二次方程的系数
a, b, c = 1, -3, 2
# 使用求根公式计算
root1 = (-b + sp.sqrt(b**2 - 4*a*c)) / (2*a)
root2 = (-b - sp.sqrt(b**2 - 4*a*c)) / (2*a)
print("根1:", root1)
print("根2:", root2)
解析：根据一元二次方程的求根公式，得到两个根。
二、填空题部分
题目1：行列式的计算
解题思路：本题考查了行列式的计算方法。
# 定义3x3行列式
A = sp.Matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
# 计算行列式
determinant = A.det()
print("行列式的值:", determinant)
解析：通过计算得到行列式的值为0。
题目2：级数的敛散性
解题思路：本题考查了级数的敛散性判断。
# 定义级数
series = sp.Sum(1/i**2, (i, 1, sp.oo))
# 判断级数的敛散性
convergent = sp.is_convergent(series)
print("级数的敛散性:", convergent)
解析：通过级数的敛散性判断，得到级数收敛。
三、解答题部分
题目1：多元函数的极值
解题思路：本题考查了多元函数的极值求解方法。
# 定义变量
x, y = sp.symbols('x y')
# 定义函数
f = x**2 + y**2
# 计算偏导数
f_prime_x = sp.diff(f, x)
f_prime_y = sp.diff(f, y)
# 求解偏导数为0的点
critical_points = sp.solveset([f_prime_x, f_prime_y], (x, y), domain=sp.Reals)
# 计算二阶偏导数
f_double_prime_xx = sp.diff(f_prime_x, x)
f_double_prime_yy = sp.diff(f_prime_y, y)
f_double_prime_xy = sp.diff(f_prime_x, y)
# 判断极值类型
hessian = sp.Matrix([[f_double_prime_xx, f_double_prime_xy], [f_double_prime_xy, f_double_prime_yy]])
eigenvalues = hessian.eigenvals()
print("临界点:", critical_points)
print("二阶导数行列式的值:", eigenvalues)
解析：通过计算得到临界点和二阶导数行列式的值，从而判断极值类型。
题目2：线性代数的应用
解题思路：本题考查了线性代数的应用。
# 定义矩阵
A = sp.Matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
# 计算矩阵的逆
inverse_A = A.inv()
print("矩阵A的逆:", inverse_A)
解析：通过计算得到矩阵A的逆矩阵。
总结
通过以上对2015年数一真题的深度解析，希望考生能够理解每一步解题思路，提升解题能力。在备考过程中，不断练习和总结，相信大家能够取得优异的成绩。