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离散数学第五章习题解答全解析

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5.1 树的遍历

5.1.1 深度优先搜索（DFS）

题目：给定一棵树，使用深度优先搜索遍历这棵树。

解答：

class TreeNode:
    def __init__(self, value):
        self.value = value
        self.children = []

def dfs(node):
    print(node.value)
    for child in node.children:
        dfs(child)

# 示例
root = TreeNode(1)
root.children.append(TreeNode(2))
root.children.append(TreeNode(3))
root.children[0].children.append(TreeNode(4))
root.children[0].children.append(TreeNode(5))
root.children[1].children.append(TreeNode(6))

dfs(root)

解析：该代码定义了一个简单的树节点类 TreeNode，包含一个值和一个子节点列表。dfs 函数以递归方式遍历树的每个节点。

5.1.2 广度优先搜索（BFS）

题目：给定一棵树，使用广度优先搜索遍历这棵树。

解答：

from collections import deque

def bfs(root):
    queue = deque([root])
    while queue:
        node = queue.popleft()
        print(node.value)
        for child in node.children:
            queue.append(child)

# 示例
bfs(root)

解析：该代码使用一个队列来实现广度优先搜索。从根节点开始，依次将子节点加入队列，然后依次处理队列中的节点。

5.2 最小生成树

5.2.1 克鲁斯卡尔算法

题目：给定一个加权无向图，使用克鲁斯卡尔算法求最小生成树。

解答：

class UnionFind:
    def __init__(self, vertices):
        self.parent = {v: v for v in vertices}
        self.rank = {v: 0 for v in vertices}

    def find(self, v):
        if self.parent[v] != v:
            self.parent[v] = self.find(self.parent[v])
        return self.parent[v]

    def union(self, u, v):
        root_u = self.find(u)
        root_v = self.find(v)
        if root_u != root_v:
            if self.rank[root_u] > self.rank[root_v]:
                self.parent[root_v] = root_u
            elif self.rank[root_u] < self.rank[root_v]:
                self.parent[root_u] = root_v
            else:
                self.parent[root_v] = root_u
                self.rank[root_u] += 1

def kruskal(edges):
    uf = UnionFind(set([edge[0] for edge in edges] + [edge[1] for edge in edges]))
    mst = []
    for edge in sorted(edges, key=lambda x: x[2]):
        if uf.find(edge[0]) != uf.find(edge[1]):
            mst.append(edge)
            uf.union(edge[0], edge[1])
    return mst

# 示例
edges = [(1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 4, 2), (1, 4, 4)]
print(kruskal(edges))

解析：该代码使用并查集实现克鲁斯卡尔算法。UnionFind 类用于管理节点的集合，kruskal 函数按照边的权重排序，并依次将不形成环的边加入最小生成树。

5.2.2 普里姆算法

题目：给定一个加权无向图，使用普里姆算法求最小生成树。

解答：

from heapq import heappop, heappush

def prim(edges, start):
    mst = []
    queue = [(0, start)]
    visited = set([start])
    while queue:
        weight, node = heappop(queue)
        mst.append((weight, node))
        for edge in edges[node]:
            if edge[1] not in visited:
                heappush(queue, (edge[2], edge[1]))
                visited.add(edge[1])
    return mst

# 示例
print(prim(edges, 1))

解析：该代码使用优先队列实现普里姆算法。从指定节点开始，按照边的权重依次添加边到最小生成树。

5.3 欧拉图

5.3.1 欧拉图判定

题目：给定一个无向图，判断它是否是欧拉图。

解答：

def is_eulerian(graph):
    odd_degree_nodes = [node for node in graph if len(graph[node]) % 2 != 0]
    return len(odd_degree_nodes) == 0 or len(odd_degree_nodes) == 2

# 示例
graph = {1: [2, 3], 2: [1, 3, 4], 3: [1, 2], 4: [2]}
print(is_eulerian(graph))

解析：该代码检查图中奇数度节点个数。如果个数为0或2，则图是欧拉图。

5.4 图的着色

5.4.1 色数判定

题目：给定一个无向图，判断它是否可以着色，且每个相邻节点颜色不同。

解答：

def is_bipartite(graph):
    colors = {node: None for node in graph}
    def dfs(node, color):
        if colors[node] is None:
            colors[node] = color
        elif colors[node] != color:
            return False
        for neighbor in graph[node]:
            if not dfs(neighbor, 1 - color):
                return False
        return True

    for node in graph:
        if colors[node] is None:
            if not dfs(node, 0):
                return False
    return True

# 示例
print(is_bipartite(graph))

解析：该代码使用深度优先搜索判断图是否是二分图。如果每个相邻节点颜色不同，则图可以着色。

5.5 有向图

5.5.1 有向图判定

题目：给定一个有向图，判断它是否是强连通图。

解答：

def is_strongly_connected(graph):
    def dfs(node):
        visited.add(node)
        for neighbor in graph[node]:
            if neighbor not in visited:
                dfs(neighbor)

    visited = set()
    dfs(next(iter(graph)))
    if len(visited) != len(graph):
        return False

    visited = set()
    dfs(next(iter(graph)))
    return len(visited) == len(graph)

# 示例
graph = {1: [2], 2: [3], 3: [1]}
print(is_strongly_connected(graph))

解析：该代码使用深度优先搜索判断有向图是否是强连通图。如果从任意节点开始，可以访问到所有其他节点，则图是强连通图。

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