例题一：空间直线的方程
题目：已知空间中一点A(1,2,3)和直线l的方向向量s=(2,1,-1)，求直线l的方程。
解析： 空间直线的方程可以用点向式方程表示，即： [ \frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c} ] 其中，(x0, y0, z0)是直线上的一个点，(a, b, c)是直线的方向向量。
将点A和方向向量s代入上述方程，得到直线l的方程为： [ \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{-1} ]
例题二：空间平面的方程
题目：已知空间中一点B(0,1,0)和两个方向向量s1=(1,2,3)，s2=(4,5,6)，求过点B且垂直于s1和s2的平面方程。
解析： 空间平面的方程可以用点法式方程表示，即： [ a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0 ] 其中，(x0, y0, z0)是平面上的一个点，(a, b, c)是平面的法向量。
由于平面垂直于s1和s2，因此平面的法向量可以取为s1和s2的叉积： [ \vec{n} = \vec{s1} \times \vec{s2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix} = (6-15)\mathbf{i} - (3-12)\mathbf{j} + (5-8)\mathbf{k} = -9\mathbf{i} + 9\mathbf{j} - 3\mathbf{k} ]
将点B和法向量n代入上述方程，得到平面方程为： [ -9(x-0) + 9(y-1) - 3(z-0) = 0 ] 即： [ -9x + 9y - 3z + 9 = 0 ]
例题三：空间中两直线的夹角
题目：已知空间中两条直线l1和l2的方向向量分别为s1=(1,2,3)，s2=(4,5,6)，求这两条直线的夹角。
解析： 空间中两直线的夹角可以通过计算它们方向向量的点积和模长来求得。设两直线的夹角为θ，则有： [ \cos\theta = \frac{\vec{s1} \cdot \vec{s2}}{|\vec{s1}| |\vec{s2}|} ]
将s1和s2代入上述公式，得到： [ \cos\theta = \frac{1 \times 4 + 2 \times 5 + 3 \times 6}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} \sqrt{4^2 + 5^2 + 6^2}} = \frac{32}{\sqrt{14} \sqrt{77}} ]
因此，θ的值为： [ \theta = \arccos\left(\frac{32}{\sqrt{14} \sqrt{77}}\right) ]
例题四：空间中两平面的夹角
题目：已知空间中两个平面α和β的法向量分别为n1=(1,2,3)，n2=(4,5,6)，求这两个平面的夹角。
解析： 空间中两平面的夹角可以通过计算它们法向量的点积和模长来求得。设两平面的夹角为θ，则有： [ \cos\theta = \frac{\vec{n1} \cdot \vec{n2}}{|\vec{n1}| |\vec{n2}|} ]
将n1和n2代入上述公式，得到： [ \cos\theta = \frac{1 \times 4 + 2 \times 5 + 3 \times 6}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} \sqrt{4^2 + 5^2 + 6^2}} = \frac{32}{\sqrt{14} \sqrt{77}} ]
因此，θ的值为： [ \theta = \arccos\left(\frac{32}{\sqrt{14} \sqrt{77}}\right) ]
例题五：空间中点到直线的距离
题目：已知空间中一点C(2,3,4)和直线l的方程为 (\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{-1})，求点C到直线l的距离。
解析： 空间中点到直线的距离可以通过计算点到直线的向量与直线方向向量的叉积的模长来求得。设点C到直线l的距离为d，则有： [ d = \frac{|\vec{AC} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|} ]
其中，AC是点A到点C的向量，s是直线l的方向向量。
将A、C和s代入上述公式，得到： [ d = \frac{|(1-2)\mathbf{i} + (2-3)\mathbf{j} + (3-4)\mathbf{k} \times (2\mathbf{i} + \mathbf{j} - \mathbf{k})|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-3\mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k}|}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}} ]
因此，点C到直线l的距离为： [ d = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}} ]
例题六：空间中点到平面的距离
题目：已知空间中一点D(1,2,3)和平面α的方程为 (x + 2y + 3z - 6 = 0)，求点D到平面α的距离。
解析： 空间中点到平面的距离可以通过计算点到平面的向量与平面法向量的点积的绝对值除以法向量的模长来求得。设点D到平面α的距离为d，则有： [ d = \frac{|(x_0, y_0, z_0) \cdot (a, b, c)|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} ]
其中，(x0, y0, z0)是点D的坐标，(a, b, c)是平面α的法向量。
将D和α的方程代入上述公式，得到： [ d = \frac{|1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 3 - 6|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{8}{\sqrt{14}} ]
因此，点D到平面α的距离为： [ d = \frac{8}{\sqrt{14}} ]
例题七：空间中两直线之间的距离
题目：已知空间中两条直线l1和l2的方向向量分别为s1=(1,2,3)，s2=(4,5,6)，求这两条直线之间的距离。
解析： 空间中两直线之间的距离可以通过计算两直线方向向量的叉积的模长除以两直线方向向量的模长之和来求得。设两直线之间的距离为d，则有： [ d = \frac{|\vec{s1} \times \vec{s2}|}{|\vec{s1}| + |\vec{s2}|} ]
将s1和s2代入上述公式，得到： [ d = \frac{|(1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) \times (4\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 6\mathbf{k})|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} + \sqrt{4^2 + 5^2 + 6^2}} = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14} + \sqrt{77}} ]
因此，两直线之间的距离为： [ d = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14} + \sqrt{77}} ]
例题八：空间中两平面之间的距离
题目：已知空间中两个平面α和β的法向量分别为n1=(1,2,3)，n2=(4,5,6)，求这两个平面之间的距离。
解析： 空间中两平面之间的距离可以通过计算两平面法向量的叉积的模长除以两平面法向量的模长之和来求得。设两平面之间的距离为d，则有： [ d = \frac{|\vec{n1} \times \vec{n2}|}{|\vec{n1}| + |\vec{n2}|} ]
将n1和n2代入上述公式，得到： [ d = \frac{|(1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) \times (4\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 6\mathbf{k})|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} + \sqrt{4^2 + 5^2 + 6^2}} = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14} + \sqrt{77}} ]
因此，两平面之间的距离为： [ d = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14} + \sqrt{77}} ]
例题九：空间中三点的共线性
题目：已知空间中三点A(1,2,3)，B(4,5,6)，C(7,8,9)，判断这三点是否共线。
解析： 空间中三点共线可以通过计算两点向量之间的叉积是否为零来判断。设向量AB和AC分别为(\vec{AB})和(\vec{AC})，则有： [ \vec{AB} = (4-1)\mathbf{i} + (5-2)\mathbf{j} + (6-3)\mathbf{k} = 3\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 3\mathbf{k} ] [ \vec{AC} = (7-1)\mathbf{i} + (8-2)\mathbf{j} + (9-3)\mathbf{k} = 6\mathbf{i} + 6\mathbf{j} + 6\mathbf{k} ]
计算叉积(\vec{AB} \times \vec{AC})，如果结果为零向量，则三点共线。
[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 3 & 3 & 3 \ 6 & 6 & 6 \end{vmatrix} = 0 ]
因此，点A、B、C共线。
例题十：空间中四点的共面性
题目：已知空间中四点A(1,2,3)，B(4,5,6)，C(7,8,9)，D(10,11,12)，判断这四点是否共面。
解析： 空间中四点共面可以通过计算其中任意三点向量之间的叉积是否为零来判断。设向量AB、AC和AD分别为(\vec{AB})、(\vec{AC})和(\vec{AD})，则有： [ \vec{AB} = (4-1)\mathbf{i} + (5-2)\mathbf{j} + (6-3)\mathbf{k} = 3\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 3\mathbf{k} ] [ \vec{AC} = (7-1)\mathbf{i} + (8-2)\mathbf{j} + (9-3)\mathbf{k} = 6\mathbf{i} + 6\mathbf{j} + 6\mathbf{k} ] [ \vec{AD} = (10-1)\mathbf{i} + (11-2)\mathbf{j} + (12-3)\mathbf{k} = 9\mathbf{i} + 9\mathbf{j} + 9\mathbf{k} ]
计算叉积(\vec{AB} \times \vec{AC})和(\vec{AB} \times \vec{AD})，如果结果相同，则四点共面。
[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 3 & 3 & 3 \ 6 & 6 & 6 \end{vmatrix} = 0 ] [ \vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 3 & 3 & 3 \ 9 & 9 & 9 \end{vmatrix} = 0 ]
因此，点A、B、C、D共面。