考研数学公式清单：关键公式速记，助你高效备考

一、高等数学

1. 微积分

导数公式

• 基本导数公式：
  • ( ©’ = 0 ) （其中c为常数）
  • ( (x)’ = 1 )
  • ( (\sin x)’ = \cos x )
  • ( (\cos x)’ = -\sin x )
  • ( (\tan x)’ = \sec^2 x )
  • ( (\arcsin x)’ = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} )
  • ( (\arccos x)’ = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} )
  • ( (\arctan x)’ = \frac{1}{1+x^2} )
• 导数运算法则：
  • 和差导数法则：( (f(x) \pm g(x))’ = f’(x) \pm g’(x) )
  • 乘法导数法则：( (f(x)g(x))’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x) )
  • 除法导数法则：( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’ = \frac{f’(x)g(x) - f(x)g’(x)}{[g(x)]^2} )
  • 复合函数导数法则：( (f(g(x)))’ = f’(g(x))g’(x) )

积分公式

• 基本积分公式：
  • ( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ) （其中n ≠ -1）
  • ( \int \sin x dx = -\cos x + C )
  • ( \int \cos x dx = \sin x + C )
  • ( \int \tan x dx = -\ln |\cos x| + C )
  • ( \int \sec x dx = \ln |\sec x + \tan x| + C )
  • ( \int \csc x dx = -\ln |\csc x - \cot x| + C )
• 积分换元法：
  • ( \int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2} + \frac{1}{2}a^2\arcsin \frac{x}{a} + C )
  • ( \int \sqrt{x^2-a^2} dx = \frac{1}{2}x\sqrt{x^2-a^2} + \frac{1}{2}a^2\ln \left|x + \sqrt{x^2-a^2}\right| + C )
• 分部积分法：
  • ( \int u dv = uv - \int v du )

2. 线性代数

矩阵运算

• 矩阵乘法：( (AB){ij} = \sum{k=1}^n A{ik}B{kj} )
• 矩阵转置：( A^T = \begin{bmatrix} a{11} & a{12} & \cdots & a{1n} \ a{21} & a{22} & \cdots & a{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a{m1} & a{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} )
• 矩阵求逆：( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) )
• 矩阵秩：( r(A) ) 表示矩阵A的秩

线性方程组

• 行列式：
  • ( \left| \begin{matrix} a{11} & a{12} & \cdots & a{1n} \ a{21} & a{22} & \cdots & a{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a{m1} & a{m2} & \cdots & a{mn} \end{matrix} \right| = \sum{i=1}^m (-1)^{i+j} a{1j}A{ij} )
• 克莱姆法则：
  • ( x_i = \frac{D_i}{D} ) （其中D为系数行列式，( D_i ) 为将系数行列式中第i列替换为常数列后的行列式）

特征值与特征向量

• 特征值：
  • ( \lambda = \text{det}(A - \lambda E) = 0 )
• 特征向量：
  • ( Av = \lambda v ) （其中A为矩阵，v为特征向量，λ为特征值）

二、概率论与数理统计

1. 概率论

随机事件

• 事件：
  • 必然事件：一定发生的事件
  • 不可能事件：一定不发生的事件
  • 随机事件：可能发生也可能不发生的事件
• 事件的运算：
  • 并集：( A \cup B )
  • 交集：( A \cap B )
  • 差集：( A - B )
  • 补集：( \overline{A} )

随机变量

• 离散型随机变量：
  • 离散型随机变量的分布列：
    • ( P(X = x) = \sum_{x \in S} P(X = x) )
  • 离散型随机变量的期望：
    • ( E(X) = \sum_{x \in S} xP(X = x) )
  • 离散型随机变量的方差：
    • ( D(X) = \sum_{x \in S} (x - E(X))^2P(X = x) )
• 连续型随机变量：
  • 连续型随机变量的概率密度函数：
    • ( f(x) )
  • 连续型随机变量的分布函数：
    • ( F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt )
  • 连续型随机变量的期望：
    • ( E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} xf(x) dx )
  • 连续型随机变量的方差：
    • ( D(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - E(X))^2f(x) dx )

2. 数理统计

参数估计

• 点估计：
  • 样本均值：( \bar{x} )
  • 样本方差：( s^2 )
  • 样本标准差：( s )
• 区间估计：
  • 置信区间：( (\bar{x} - t{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}, \bar{x} + t{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}) )

假设检验

• 单正态总体均值假设检验：
  • ( H_0: \mu = \mu_0 )
  • ( H_1: \mu \neq \mu_0 )
• 双正态总体均值假设检验：
  • ( H_0: \mu_1 = \mu_2 )
  • ( H_1: \mu_1 \neq \mu_2 )
• 方差假设检验：
  • ( H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2 )
  • ( H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2 )