一、高等数学
1. 微积分
导数公式
- 基本导数公式:
- ( ©’ = 0 ) (其中c为常数)
- ( (x)’ = 1 )
- ( (\sin x)’ = \cos x )
- ( (\cos x)’ = -\sin x )
- ( (\tan x)’ = \sec^2 x )
- ( (\arcsin x)’ = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} )
- ( (\arccos x)’ = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} )
- ( (\arctan x)’ = \frac{1}{1+x^2} )
- 导数运算法则:
- 和差导数法则:( (f(x) \pm g(x))’ = f’(x) \pm g’(x) )
- 乘法导数法则:( (f(x)g(x))’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x) )
- 除法导数法则:( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’ = \frac{f’(x)g(x) - f(x)g’(x)}{[g(x)]^2} )
- 复合函数导数法则:( (f(g(x)))’ = f’(g(x))g’(x) )
积分公式
- 基本积分公式:
- ( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ) (其中n ≠ -1)
- ( \int \sin x dx = -\cos x + C )
- ( \int \cos x dx = \sin x + C )
- ( \int \tan x dx = -\ln |\cos x| + C )
- ( \int \sec x dx = \ln |\sec x + \tan x| + C )
- ( \int \csc x dx = -\ln |\csc x - \cot x| + C )
- 积分换元法:
- ( \int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2} + \frac{1}{2}a^2\arcsin \frac{x}{a} + C )
- ( \int \sqrt{x^2-a^2} dx = \frac{1}{2}x\sqrt{x^2-a^2} + \frac{1}{2}a^2\ln \left|x + \sqrt{x^2-a^2}\right| + C )
- 分部积分法:
- ( \int u dv = uv - \int v du )
2. 线性代数
矩阵运算
- 矩阵乘法:( (AB){ij} = \sum{k=1}^n A{ik}B{kj} )
- 矩阵转置:( A^T = \begin{bmatrix} a{11} & a{12} & \cdots & a{1n} \ a{21} & a{22} & \cdots & a{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a{m1} & a{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} )
- 矩阵求逆:( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) )
- 矩阵秩:( r(A) ) 表示矩阵A的秩
线性方程组
- 行列式:
- ( \left| \begin{matrix} a{11} & a{12} & \cdots & a{1n} \ a{21} & a{22} & \cdots & a{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a{m1} & a{m2} & \cdots & a{mn} \end{matrix} \right| = \sum{i=1}^m (-1)^{i+j} a{1j}A{ij} )
- 克莱姆法则:
- ( x_i = \frac{D_i}{D} ) (其中D为系数行列式,( D_i ) 为将系数行列式中第i列替换为常数列后的行列式)
特征值与特征向量
- 特征值:
- ( \lambda = \text{det}(A - \lambda E) = 0 )
- 特征向量:
- ( Av = \lambda v ) (其中A为矩阵,v为特征向量,λ为特征值)
二、概率论与数理统计
1. 概率论
随机事件
- 事件:
- 必然事件:一定发生的事件
- 不可能事件:一定不发生的事件
- 随机事件:可能发生也可能不发生的事件
- 事件的运算:
- 并集:( A \cup B )
- 交集:( A \cap B )
- 差集:( A - B )
- 补集:( \overline{A} )
随机变量
- 离散型随机变量:
- 离散型随机变量的分布列:
- ( P(X = x) = \sum_{x \in S} P(X = x) )
- 离散型随机变量的期望:
- ( E(X) = \sum_{x \in S} xP(X = x) )
- 离散型随机变量的方差:
- ( D(X) = \sum_{x \in S} (x - E(X))^2P(X = x) )
- 连续型随机变量:
- 连续型随机变量的概率密度函数:
- 连续型随机变量的分布函数:
- ( F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt )
- 连续型随机变量的期望:
- ( E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} xf(x) dx )
- 连续型随机变量的方差:
- ( D(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - E(X))^2f(x) dx )
2. 数理统计
参数估计
- 点估计:
- 样本均值:( \bar{x} )
- 样本方差:( s^2 )
- 样本标准差:( s )
- 区间估计:
- 置信区间:( (\bar{x} - t{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}, \bar{x} + t{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}) )
假设检验
- 单正态总体均值假设检验:
- ( H_0: \mu = \mu_0 )
- ( H_1: \mu \neq \mu_0 )
- 双正态总体均值假设检验:
- ( H_0: \mu_1 = \mu_2 )
- ( H_1: \mu_1 \neq \mu_2 )
- 方差假设检验:
- ( H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2 )
- ( H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2 )
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