一、选择题部分详解
1. 题目一：极限的计算
题目：计算 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - 2x}{x^3}\)
解析： 这是一个典型的“\(\frac{0}{0}\)”型未定式，可以使用洛必达法则求解。
解答过程： [ \lim{x \to 0} \frac{\sin 2x - 2x}{x^3} = \lim{x \to 0} \frac{2\cos 2x - 2}{3x^2} ] 再次使用洛必达法则： [ = \lim{x \to 0} \frac{-4\sin 2x}{6x} = \lim{x \to 0} \frac{-8\cos 2x}{6} = -\frac{4}{3} ]
2. 题目二：二重积分的计算
题目：计算 \(\iint_D x^2 \, d\sigma\)，其中 \(D\) 是由曲线 \(y = x^2\) 和直线 \(y = 1\) 围成的区域。
解析： 这是一个定积分的应用题，需要将二重积分转化为迭代积分。
解答过程： [ \iint_D x^2 \, d\sigma = \int0^1 \int{x^2}^1 x^2 \, dy \, dx = \int_0^1 (1 - x^4) x^2 \, dx = \int_0^1 (x^2 - x^6) \, dx = \frac{1}{3} - \frac{1}{7} = \frac{4}{21} ]
二、填空题部分详解
1. 题目一：级数求和
题目：求级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 的和。
解析： 这是一个著名的调和级数，可以通过积分来求解。
解答过程： [ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_1^{\infty} = 1 ]
2. 题目二：行列式的计算
题目：计算行列式 \(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}\)。
解析： 这是一个三阶行列式，可以通过行列式的展开公式求解。
解答过程： [ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \ 7 & 8 \end{vmatrix} = 1 ]
三、解答题部分详解
1. 题目一：线性代数
题目：设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 的实对称矩阵，证明 \(A\) 的特征值都是实数。
解析： 实对称矩阵的特征值总是实数，这是一个线性代数的基本性质。
解答过程： 设 \(\lambda\) 是 \(A\) 的一个特征值，对应的特征向量为 \(\vec{v}\)，则有 \(A\vec{v} = \lambda\vec{v}\)。由于 \(A\) 是实对称矩阵，所以 \(A^T = A\)，从而 \(A\vec{v}^T = \vec{v}^TA\)。将 \(A\vec{v} = \lambda\vec{v}\) 代入，得到 \(\vec{v}^TA\vec{v} = \lambda\vec{v}^T\vec{v}\)，即 \(\lambda|\vec{v}|^2 = \lambda|\vec{v}|^2\)，因此 \(\lambda\) 是实数。
2. 题目二：概率论
题目：设随机变量 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的泊松分布，求 \(P(X=1)\)。
解析： 泊松分布的概率质量函数为 \(P(X=k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\)。
解答过程： [ P(X=1) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^1}{1!} = e^{-\lambda}\lambda ]
以上是对2016年考研数学二真题的详细解析，希望对准备考研的同学有所帮助。