在考研数学的备考过程中，线性微分方程是一个重要的知识点。欧拉方程作为线性微分方程的一种特殊形式，因其结构简单、解法独特，在考研数学中经常出现。本文将详细讲解欧拉方程的解题技巧，并结合经典例题进行解析，帮助考生轻松掌握这一部分内容。
一、欧拉方程的定义与特点
欧拉方程是一种特殊的线性微分方程，其一般形式为：
[ x^2y” + px’ + qy = 0 ]
其中，( p ) 和 ( q ) 是常数。欧拉方程的特点是方程中的系数与变量 ( x ) 有关，且方程的阶数较高。
二、欧拉方程的解法
欧拉方程的解法主要有两种：特征方程法和参数变换法。
1. 特征方程法
对于形式为 ( x^2y” + px’ + qy = 0 ) 的欧拉方程，可以假设解的形式为 ( y = x^r )，代入方程中，得到特征方程：
[ r^2 + pr + q = 0 ]
解得特征根 ( r_1 ) 和 ( r_2 )，则欧拉方程的通解为：
[ y = C_1x^{r_1} + C_2x^{r_2} ]
其中，( C_1 ) 和 ( C_2 ) 是任意常数。
2. 参数变换法
参数变换法是将欧拉方程转化为常系数线性微分方程，然后求解。具体步骤如下：
（1）令 ( x = e^t )，则 ( t = \ln x )，( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{1}{x} \frac{dy}{dt} )，( \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \frac{dy}{dt} \right) = \frac{1}{x^2} \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{1}{x^2} \frac{dy}{dt} )。
（2）将 ( x = e^t ) 代入欧拉方程，得到常系数线性微分方程：
[ \frac{d^2y}{dt^2} + p\frac{dy}{dt} + qy = 0 ]
（3）求解常系数线性微分方程，得到 ( y ) 的表达式。
（4）将 ( t = \ln x ) 代入 ( y ) 的表达式，得到欧拉方程的通解。
三、经典例题解析
例题1
求解欧拉方程 ( x^2y” - 3xy’ + 2y = 0 )。
解题步骤：
假设解的形式为 ( y = x^r )，代入方程中，得到特征方程 ( r^2 - 3r + 2 = 0 )。
解得特征根 ( r_1 = 1 )，( r_2 = 2 )。
根据特征根，得到欧拉方程的通解为 ( y = C_1x + C_2x^2 )。
故所求的欧拉方程的通解为 ( y = C_1x + C_2x^2 )。
例题2
求解欧拉方程 ( x^2y” - 4xy’ + 4y = 0 )。
解题步骤：
令 ( x = e^t )，则 ( t = \ln x )，( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{1}{x} \frac{dy}{dt} )，( \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \frac{dy}{dt} \right) = \frac{1}{x^2} \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{1}{x^2} \frac{dy}{dt} )。
将 ( x = e^t ) 代入欧拉方程，得到常系数线性微分方程 ( \frac{d^2y}{dt^2} - 4\frac{dy}{dt} + 4y = 0 )。
求解常系数线性微分方程，得到 ( y = C_1e^{2t} + C_2e^{2t} )。
将 ( t = \ln x ) 代入 ( y ) 的表达式，得到欧拉方程的通解为 ( y = C_1x^2 + C_2x^2 )。
故所求的欧拉方程的通解为 ( y = C_1x^2 + C_2x^2 )。
四、总结
欧拉方程是考研数学中的一个重要知识点，掌握其解题技巧对于考生来说至关重要。本文通过讲解欧拉方程的定义、特点、解法以及经典例题解析，帮助考生轻松掌握欧拉方程的解题方法。在备考过程中，考生还需多做练习，提高解题能力。