1. 一元二次方程简介
一元二次方程是数学中的一种基本方程，其一般形式为 (ax^2 + bx + c = 0)，其中 (a, b, c) 是常数，且 (a \neq 0)。一元二次方程的解可以通过图像法、配方法、公式法等方法求解。
2. 方程 (y = 1 - x^2) 的解析
2.1 方程的图像表示
方程 (y = 1 - x^2) 表示的是一个开口向下的抛物线。在平面直角坐标系中，当 (x) 的取值范围是全体实数时，该方程的图像是一个完整的抛物线。
2.2 抛物线的性质
- 对称性：抛物线关于 (y) 轴对称。
- 顶点：抛物线的顶点是 ((0, 1))，这是抛物线的最高点。
- 开口方向：由于二次项系数 (a = -1 < 0)，抛物线开口向下。
- 渐近线：抛物线的两条渐近线分别是 (x) 轴（(y = 0)）和 (y) 轴（(x = 0)）。
2.3 解方程
要求解方程 (y = 1 - x^2)，实际上就是寻找抛物线 (y = 1 - x^2) 与 (x) 轴（(y = 0)）的交点。以下是求解过程的详细步骤：
2.3.1 图像法
通过观察图像，我们可以看到抛物线 (y = 1 - x^2) 与 (x) 轴的交点为 ((-1, 0)) 和 ((1, 0))。因此，方程的解为 (x_1 = -1) 和 (x_2 = 1)。
2.3.2 公式法
我们可以利用一元二次方程的求根公式来解这个方程。首先，将方程改写为标准形式 (ax^2 + bx + c = 0)：
[x^2 - x + 1 = 0]
根据一元二次方程的求根公式 (x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})，我们有：
[x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2}] [x = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2}]
由于根号内是负数，方程无实数解。但是，我们可以找到两个复数解：
[x_1 = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2}] [x_2 = \frac{1 - \sqrt{3}i}{2}]
其中 (i) 是虚数单位。
3. 结论
方程 (y = 1 - x^2) 的图像是一个开口向下的抛物线，其顶点为 ((0, 1))，对称轴为 (y) 轴。通过图像法或公式法，我们可以得出该方程无实数解，但其复数解为 (x_1 = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2}) 和 (x_2 = \frac{1 - \sqrt{3}i}{2})。