引言
双曲线是高中数学中一个重要的几何图形，它具有独特的性质和丰富的应用。掌握双曲线的相关知识，不仅有助于提高数学成绩，还能为后续学习打下坚实基础。本文将结合精选练习题，帮助读者深入了解双曲线，提升解题技巧。
一、双曲线的定义及标准方程
1. 定义
双曲线是由平面内一点（称为焦点）到两定点的距离之差为常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹。
2. 标准方程
双曲线的标准方程为 (\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1)（(a > 0, b > 0)），其中 (a) 和 (b) 分别是双曲线的实轴和虚轴的长度。
二、双曲线的性质
1. 焦点距离
双曲线的焦点距离为 (2c)，其中 (c = \sqrt{a^2 + b^2})。
2. 短轴和长轴
双曲线的短轴长度为 (2b)，长轴长度为 (2a)。
3. 渐近线
双曲线的渐近线方程为 (y = \pm \frac{b}{a}x)。
三、精选练习题
1. 计算题
题目：已知双曲线的焦点距离为 (10)，短轴长度为 (4)，求其标准方程。
解答：
（1）根据双曲线的焦点距离公式，得 (2c = 10)，即 (c = 5)。
（2）根据双曲线的短轴长度公式，得 (2b = 4)，即 (b = 2)。
（3）根据双曲线的焦点距离和短轴长度，求出 (a) 的值：(c^2 = a^2 + b^2)，即 (25 = a^2 + 4)，解得 (a = 3)。
（4）代入标准方程，得双曲线的标准方程为 (\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1)。
2. 应用题
题目：已知双曲线的渐近线方程为 (y = \pm \frac{3}{2}x)，求其焦点距离。
解答：
（1）根据双曲线的渐近线方程，得 (b/a = 3⁄2)。
（2）由双曲线的标准方程 (\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1)，得 (a^2 = 4b^2)。
（3）联立以上两个方程，得 (a^2 = 4b^2)，(b/a = 3⁄2)，解得 (a = 2\sqrt{2})，(b = 3\sqrt{2})。
（4）根据双曲线的焦点距离公式，得 (c = \sqrt{a^2 + b^2} = 5)。
（5）因此，双曲线的焦点距离为 (2c = 10)。
四、总结
通过以上精选练习题，相信读者已经对双曲线有了更深入的了解。在今后的学习中，要多做练习，积累经验，不断提高解题技巧。同时，要注重双曲线在实际问题中的应用，将所学知识运用到实际生活中。