引言
幂函数是数学中一个非常重要的函数类型，它在物理学、工程学、经济学等多个领域都有广泛的应用。本篇文章将通过对一些实战练习题的详解与答案解析，帮助读者深入理解幂函数的概念、性质及其应用。
幂函数基础知识
定义
幂函数是指形如 \(f(x) = x^a\) 的函数，其中 \(a\) 是常数，称为幂指数。当 \(a\) 为正整数时，函数图像在第一象限；当 \(a\) 为负整数时，函数图像在第二、三、四象限；当 \(a\) 为非整数时，函数图像可能穿过整个坐标平面。
性质
- 奇偶性：当 \(a\) 为奇数时，函数为奇函数；当 \(a\) 为偶数时，函数为偶函数。
- 单调性：当 \(a > 0\) 时，函数在定义域内单调递增；当 \(a < 0\) 时，函数在定义域内单调递减。
- 渐近线：当 \(x\) 趋向于正无穷或负无穷时，函数图像分别趋近于 \(y = 0\) 或 \(y = +\infty\)（当 \(a > 0\)）或 \(y = 0\) 或 \(y = -\infty\)（当 \(a < 0\)）。
实战练习题详解与答案解析
练习题 1
题目：已知幂函数 \(f(x) = x^3\)，求 \(f(-2)\) 的值。
解析：根据幂函数的定义，\(f(-2) = (-2)^3 = -8\)。
答案：\(f(-2) = -8\)
练习题 2
题目：已知幂函数 \(f(x) = x^{-2}\)，求函数的值域。
解析：由于 \(a = -2\) 为负整数，函数在定义域内单调递减。当 \(x\) 趋向于正无穷或负无穷时，函数值趋近于 0。因此，函数的值域为 \((0, +\infty)\)。
答案：值域为 \((0, +\infty)\)
练习题 3
题目：已知幂函数 \(f(x) = x^2\)，求函数在区间 \([1, 3]\) 上的最大值和最小值。
解析：由于 \(a = 2\) 为正偶数，函数在定义域内单调递增。因此，最大值出现在区间右端点 \(x = 3\)，最小值出现在区间左端点 \(x = 1\)。计算可得 \(f(3) = 3^2 = 9\)，\(f(1) = 1^2 = 1\)。
答案：最大值为 9，最小值为 1
总结
通过以上实战练习题的详解与答案解析，相信读者对幂函数的概念、性质及其应用有了更深入的理解。在今后的学习和工作中，掌握幂函数的相关知识将有助于解决实际问题。