引言
高等代数是数学中的一个重要分支，它涉及向量空间、线性变换、矩阵理论等内容。对于学习高等代数的学生来说，课后习题是巩固知识、提高解题能力的重要途径。然而，面对一些复杂的难题，很多学生可能会感到困惑。本文将针对一些典型的高等代数课后习题，提供详细的答案解析，帮助读者解锁难题。
一、向量空间与线性变换
1. 向量空间的定义与性质
问题：证明集合 ( V = { (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + y = 0 } ) 是一个向量空间。
解析：
首先，我们需要验证 ( V ) 是否满足向量空间的定义。向量空间需要满足以下性质：
- 封闭性：对于任意 ( \alpha, \beta \in V ) 和任意标量 ( k )，有 ( \alpha + \beta \in V ) 和 ( k\alpha \in V )。
- 结合律：对于任意 ( \alpha, \beta, \gamma \in V )，有 ( (\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma) ) 和 ( k(\alpha + \beta) = k\alpha + k\beta )。
- 存在零向量：存在一个零向量 ( 0 \in V )，使得对于任意 ( \alpha \in V )，有 ( \alpha + 0 = \alpha )。
- 存在加法逆元：对于任意 ( \alpha \in V )，存在一个向量 ( -\alpha \in V )，使得 ( \alpha + (-\alpha) = 0 )。
证明：
封闭性：设 ( \alpha = (x_1, y_1) )，( \beta = (x_2, y_2) )，则 ( \alpha + \beta = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) )。由于 ( x_1 + y_1 = 0 ) 和 ( x_2 + y_2 = 0 )，所以 ( x_1 + x_2 + y_1 + y_2 = 0 )，即 ( \alpha + \beta \in V )。同理，( k\alpha = (kx_1, ky_1) )，由于 ( x_1 + y_1 = 0 )，所以 ( kx_1 + ky_1 = 0 )，即 ( k\alpha \in V )。
结合律：根据向量加法和标量乘法的定义，可以直接验证。
存在零向量：零向量 ( 0 = (0, 0) )，显然 ( 0 + (x, y) = (x, y) )。
存在加法逆元：对于任意 ( \alpha = (x, y) )，其加法逆元为 ( -\alpha = (-x, -y) )，因为 ( \alpha + (-\alpha) = (x, y) + (-x, -y) = (0, 0) )。
因此，( V ) 是一个向量空间。
2. 线性变换的性质与应用
问题：设 ( T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 ) 是一个线性变换，且 ( T(1, 0) = (1, 2) )，( T(0, 1) = (3, 4) )，求 ( T ) 的矩阵表示。
解析：
线性变换 ( T ) 可以表示为一个 ( 2 \times 2 ) 矩阵 ( A )，使得 ( T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} )，其中 ( \mathbf{x} ) 是 ( \mathbb{R}^2 ) 中的任意向量。
由于 ( T(1, 0) = (1, 2) ) 和 ( T(0, 1) = (3, 4) )，我们可以将 ( \mathbf{x} ) 表示为 ( \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} ) 和 ( \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix} )，那么 ( A ) 的列向量就是 ( T ) 在基 ( { \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix} } ) 下的像。
因此，( A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \ 2 & 4 \end{pmatrix} )。
二、矩阵理论
1. 矩阵的秩与可逆性
问题：判断矩阵 ( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} ) 是否可逆。
解析：
矩阵 ( A ) 可逆的充分必要条件是它的秩等于其行数或列数，并且 ( A ) 的行列式不为零。
首先，我们计算 ( A ) 的秩。由于 ( A ) 的每一行都是前一行加上一个常数倍的前一行，因此 ( A ) 的秩小于或等于 2。实际上，( A ) 的秩为 2，因为 ( A ) 的前两行线性无关。
其次，计算 ( A ) 的行列式：
[ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \ 7 & 8 \end{vmatrix} ]
计算得 ( \det(A) = 0 )。
因此，( A ) 不可逆。
2. 矩阵的相似对角化
问题：判断矩阵 ( B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 0 & 2 \end{pmatrix} ) 是否可相似对角化。
解析：
矩阵 ( B ) 可相似对角化的充分必要条件是它有 ( n ) 个线性无关的特征向量，其中 ( n ) 是矩阵的阶数。
首先，我们找到 ( B ) 的特征值。设 ( \lambda ) 是 ( B ) 的特征值，则 ( \det(B - \lambda I) = 0 )，其中 ( I ) 是单位矩阵。
[ \det(B - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 2 - \lambda & 1 \ 0 & 2 - \lambda \end{pmatrix} = (2 - \lambda)^2 - 0 = 0 ]
解得 ( \lambda_1 = \lambda_2 = 2 )。
接下来，我们找到 ( \lambda = 2 ) 对应的特征向量。解方程组 ( (B - 2I)\mathbf{x} = \mathbf{0} )：
[ \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix} ]
得到 ( x_1 ) 可以是任意值，( x_2 ) 必须为 0。因此，特征向量可以表示为 ( \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} )。
由于 ( B ) 只有一个特征值，并且只有一个线性无关的特征向量，所以 ( B ) 不可相似对角化。
结论
本文针对高等代数课后习题中的典型问题进行了详细的解析，包括向量空间与线性变换、矩阵理论等内容。通过这些解析，读者可以更好地理解高等代数的概念和方法，提高解题能力。希望本文对学习高等代数的学生有所帮助。