引言
韦达定理是数学中一个重要的定理，它揭示了二次方程根与系数之间的关系。新东方作为中国知名的培训机构，对韦达定理的讲解深入浅出，帮助无数学生掌握了这一数学精髓。本文将深入解析韦达定理，并通过经典例题展示其应用方法。
韦达定理概述
定义
韦达定理指出，对于形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的二次方程，其两个根 ( x_1 ) 和 ( x_2 ) 满足以下关系：
- 根的和：( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} )
- 根的积：( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} )
证明
韦达定理的证明可以通过配方法或求根公式来完成。以下使用求根公式进行证明：
设 ( x_1 ) 和 ( x_2 ) 为方程 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的两个根，根据求根公式：
[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] [ x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
则：
[ x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = -\frac{b}{a} ] [ x_1 \cdot x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \cdot \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{c}{a} ]
经典例题解析
例题1
已知二次方程 ( 2x^2 - 5x + 2 = 0 )，求其根的和与根的积。
解答
根据韦达定理：
- 根的和：( x_1 + x_2 = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2} )
- 根的积：( x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{2} = 1 )
例题2
已知二次方程的两个根分别为 ( 3 ) 和 ( 4 )，求该方程。
解答
设方程为 ( ax^2 + bx + c = 0 )，根据韦达定理：
- ( x_1 + x_2 = 3 + 4 = 7 )
- ( x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot 4 = 12 )
由于 ( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} ) 和 ( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} )，我们可以得到：
- ( -\frac{b}{a} = 7 )
- ( \frac{c}{a} = 12 )
假设 ( a = 1 )，则 ( b = -7 )，( c = 12 )。因此，方程为 ( x^2 - 7x + 12 = 0 )。
总结
韦达定理是解决二次方程问题的重要工具，它揭示了根与系数之间的关系。通过本文的解析和例题，读者可以更好地理解韦达定理，并在实际应用中灵活运用。掌握韦达定理，对于提高数学解题能力具有重要意义。