微积分作为高等数学的基础，对于理解科学和工程领域的问题至关重要。吴传生的微积分教材因其深入浅出的讲解和丰富的例题而广受欢迎。以下是针对吴传生第3版微积分教材中的一些难题的详细解析，帮助读者轻松掌握数学精髓。
一、极限的概念与应用
1.1 极限的定义
在微积分中，极限是研究函数在自变量趋于某个值时，函数值的变化趋势的一个基本概念。吴传生第3版教材中，对于极限的定义如下：
定义：若对于任意小的正数ε，都存在一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，都有|f(x) - L| < ε，则称常数L为函数f(x)当x趋于a时的极限。
1.2 应用实例
例题：证明函数f(x) = x² - 2x + 1在x趋于1时的极限为0。
解析：
根据极限的定义，需要证明对于任意小的正数ε，都存在一个正数δ，使得当0 < |x - 1| < δ时，都有|x² - 2x + 1| < ε。
设|x - 1| < δ，则|x² - 2x + 1| = |(x - 1)²| = |x - 1|²。
要使|x² - 2x + 1| < ε，即需要|x - 1|² < ε。
取δ = √ε，则当0 < |x - 1| < δ时，有|x² - 2x + 1| < ε。
因此，根据极限的定义，得证f(x) = x² - 2x + 1在x趋于1时的极限为0。
二、导数的计算与应用
2.1 导数的定义
导数是微积分中的另一个重要概念，它描述了函数在某一点处的瞬时变化率。吴传生第3版教材中，导数的定义如下：
定义：设函数y = f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果极限
\[ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \]
存在，则称此极限为函数y = f(x)在点x0处的导数，记为f’(x0)。
2.2 应用实例
例题：求函数f(x) = x³在x = 0处的导数。
解析：
根据导数的定义，需要计算极限
\[ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x)^3 - x^3}{\Delta x} \]
在x = 0时的值。
展开式子，得
\[ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^3 + 3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 - x^3}{\Delta x} \]
= $\( \lim_{\Delta x \to 0} \frac{3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3}{\Delta x} \)$
由于\(\Delta x \to 0\)时，\(\Delta x^2 \to 0\)，\(\Delta x^3 \to 0\)，因此
\[ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3}{\Delta x} \]
= 3x²。
因此，函数f(x) = x³在x = 0处的导数为f’(0) = 3x²|0| = 0。
三、积分的应用
3.1 定积分的定义
定积分是微积分中的另一个基本概念，它描述了函数在一个区间上的累积效应。吴传生第3版教材中，定积分的定义如下：
定义：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，对于任意分割[a, b] = {x0, x1, …, xn}，定义
\[ S_n = \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i \]
其中，\(x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]\)，\(\Delta x_i = x_i - x_{i-1}\)。
当分割的细度趋于无穷时，S_n的极限存在，则称此极限为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记为∫f(x)dx。
3.2 应用实例
例题：计算函数f(x) = x²在区间[0, 1]上的定积分。
解析：
根据定积分的定义，需要计算
\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i \]
其中，f(x) = x²，[0, 1]，\(x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]\)，\(\Delta x_i = \frac{1}{n}\)。
取\(x_i^* = \frac{i-1}{n}\)，则
\[ \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i = \sum_{i=1}^n \left(\frac{i-1}{n}\right)^2 \cdot \frac{1}{n} \]
= $\( \sum_{i=1}^n \frac{(i-1)^2}{n^3} \)$
使用求和公式，得
\[ \sum_{i=1}^n \frac{(i-1)^2}{n^3} = \frac{n(n-1)(2n-1)}{6n^3} \]
当n趋于无穷时，根据夹逼定理，上式趋于
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n(n-1)(2n-1)}{6n^3} = \frac{1}{3} \]
因此，函数f(x) = x²在区间[0, 1]上的定积分为∫f(x)dx = 1/3。
总结
通过以上对吴传生第3版微积分教材中难题的解析，相信读者能够对微积分的基本概念和计算方法有更深入的理解。在实际学习和应用中，不断练习和思考，才能更好地掌握数学精髓。