矩阵行列式是线性代数中的一个重要概念，它不仅能够帮助我们判断矩阵的行列是否满秩，还能够用来求解线性方程组。本文将通过几个实战例题的解析，帮助读者深入理解矩阵行列式的计算方法，并掌握其中的核心技巧。
一、行列式的定义与性质
1.1 行列式的定义
对于一个n阶方阵A，它的行列式（记为det(A)）是一个标量。行列式的计算方法有多种，包括拉普拉斯展开、按行（或列）展开、Sarrus规则等。
1.2 行列式的性质
- 行列式具有交换律和结合律。
- 行列式的值在行（或列）交换时变号。
- 行列式的值在行（或列）扩大或缩小k倍时，行列式的值也扩大或缩小k倍。
- 如果一行（或列）是其他行的（或列）的倍数，则行列式的值为0。
二、实战例题解析
2.1 例题1：计算3阶矩阵的行列式
给定矩阵A：
[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} ]
解答步骤：
- 选择任意一行或一列，按照该行（或列）的元素进行展开。
- 对于每个展开的项，取该行（或列）的对应元素，并根据其在原矩阵中的位置决定符号（正号或负号）。
- 将所有展开的项相加，得到行列式的值。
按照第二行展开：
[ \text{det}(A) = 5 \cdot (-1)^{2+1} \cdot \text{det}\left( \begin{matrix} 1 & 3 \ 7 & 9 \end{matrix} \right) - 6 \cdot (-1)^{2+2} \cdot \text{det}\left( \begin{matrix} 1 & 3 \ 4 & 9 \end{matrix} \right) + 4 \cdot (-1)^{2+3} \cdot \text{det}\left( \begin{matrix} 1 & 2 \ 4 & 5 \end{matrix} \right) ]
计算小行列式：
[ \text{det}\left( \begin{matrix} 1 & 3 \ 7 & 9 \end{matrix} \right) = 1 \cdot 9 - 3 \cdot 7 = -18 ] [ \text{det}\left( \begin{matrix} 1 & 3 \ 4 & 9 \end{matrix} \right) = 1 \cdot 9 - 3 \cdot 4 = 3 ] [ \text{det}\left( \begin{matrix} 1 & 2 \ 4 & 5 \end{matrix} \right) = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = -3 ]
将这些值代入行列式的计算公式：
[ \text{det}(A) = 5 \cdot (-1)^{2+1} \cdot (-18) - 6 \cdot (-1)^{2+2} \cdot 3 + 4 \cdot (-1)^{2+3} \cdot (-3) = -90 + 18 - 12 = -84 ]
所以，矩阵A的行列式为-84。
2.2 例题2：求解线性方程组
给定线性方程组：
[ \begin{cases} 2x + 3y + 4z = 8 \ 5x + 6y + 7z = 11 \ 8x + 9y + 10z = 14 \end{cases} ]
我们可以将其写成增广矩阵的形式，然后使用高斯消元法求解。
解答步骤：
将线性方程组写成增广矩阵： [ \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 & | & 8 \ 5 & 6 & 7 & | & 11 \ 8 & 9 & 10 & | & 14 \end{pmatrix} ]
使用高斯消元法将增广矩阵化简为行阶梯形矩阵。
解行阶梯形矩阵得到线性方程组的解。
通过高斯消元法，我们可以得到方程组的解为：
[ x = 1, \quad y = 2, \quad z = 1 ]
三、总结
行列式是线性代数中的重要概念，掌握其计算方法和应用技巧对于解决实际问题具有重要意义。通过以上实战例题的解析，读者应该能够更好地理解行列式的计算方法，并在实际应用中灵活运用。