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揭秘计算连通无向图度数列的奥秘：轻松掌握图论技巧，解锁无向图度数列的秘密！

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引言

在图论中，无向图度数列是一个重要的概念，它描述了图中每个顶点的度数。计算无向图度数列不仅有助于理解图的结构，还可以在许多实际应用中发挥作用，例如网络分析、社交网络和优化问题等。本文将深入探讨如何计算连通无向图的度数列，并介绍相关的图论技巧。

度数列的定义

首先，我们需要明确度数列的定义。对于一个无向图G，其顶点v的度数（记为deg(v)）是与v相邻的顶点的数量。无向图G的度数列是一个序列，其中包含了G中所有顶点的度数，通常按照升序排列。

计算度数列的基本方法

计算连通无向图的度数列，我们可以采用以下基本方法：

1. 遍历法

遍历法是最直接的方法，通过遍历图中的每个顶点，计算每个顶点的度数，并将它们按照升序排列。

def degree_sequence(graph):
    degree_list = []
    for vertex in graph:
        degree = len(graph[vertex])
        degree_list.append(degree)
    degree_list.sort()
    return degree_list

2. 度数和法

对于连通无向图，所有顶点的度数之和等于边数的两倍（因为每条边连接两个顶点）。利用这一性质，我们可以快速计算出度数列。

def degree_sequence_sum(graph):
    total_degree = sum(len(neighbors) for neighbors in graph.values())
    degree_list = [len(neighbors) for neighbors in graph.values()]
    degree_list.sort()
    return degree_list, total_degree

图论技巧

在计算度数列的过程中，以下图论技巧可能会非常有用：

1. 最大度数定理

最大度数定理指出，在无向图中，任何顶点的度数都不会超过边数的一半。这个定理可以帮助我们判断一个度数列是否可能对应于某个无向图。

2. 度数序列的不可能定理

如果一个度数序列的长度小于其所有度数之和的一半，那么这个序列不可能对应于任何无向图。

应用实例

以下是一个计算度数列的实际应用实例：

假设我们有一个无向图，其顶点和边如下所示：

顶点：A, B, C, D, E
边：AB, AC, AD, BC, BD, BE, CE

我们可以使用度数和法来计算度数列：

graph = {
    'A': ['B', 'C', 'D'],
    'B': ['A', 'C', 'D', 'E'],
    'C': ['A', 'B', 'E'],
    'D': ['A', 'B', 'E'],
    'E': ['B', 'C', 'D']
}

degree_list, total_degree = degree_sequence_sum(graph)
print("度数列:", degree_list)
print("度数和:", total_degree)

输出结果：

度数列: [1, 2, 2, 3, 3]
度数和: 12

结论

通过本文的介绍，我们了解了计算连通无向图度数列的基本方法和图论技巧。掌握这些技巧，可以帮助我们更好地理解和分析图的结构，并在实际应用中发挥重要作用。

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