引言
范德蒙行列式是一种特殊的行列式，它在线性代数中占有重要地位。它不仅用于解线性方程组，还广泛应用于插值法、矩阵运算等领域。掌握范德蒙行列式及其相关的高斯消元技巧，对于学习线性代数和解决实际问题具有重要意义。本文将通过10个经典例题的解析，帮助读者轻松掌握高斯消元技巧。
例题1：求解范德蒙行列式
给定矩阵A：
A = | 1 2 3 |
| 4 5 6 |
| 7 8 9 |
求解行列式|A|。
解析：
范德蒙行列式的特点是：若矩阵A中第i行的第j个元素为1，其余元素为0，则|A|的值为行列式的对角线元素之积。根据这个特点，可以直接计算|A|的值。
|A| = 1 * 5 * 9 = 45
例题2：判断线性方程组的解
已知方程组：
x + 2y + 3z = 4
2x + 4y + 6z = 8
3x + 6y + 9z = 12
求该方程组的解。
解析：
首先，写出系数矩阵A和常数向量b：
A = | 1 2 3 |
| 2 4 6 |
| 3 6 9 |
b = | 4 |
| 8 |
|12 |
计算范德蒙行列式|A|：
|A| = 1 * 4 * 9 = 36
由于|A| ≠ 0，因此方程组有唯一解。接下来，利用高斯消元法求解方程组。
x = 1
y = 0
z = 0
例题3：求解线性方程组
已知方程组：
x + 2y + 3z = 1
2x + 4y + 6z = 2
3x + 6y + 9z = 3
求该方程组的解。
解析：
首先，写出系数矩阵A和常数向量b：
A = | 1 2 3 |
| 2 4 6 |
| 3 6 9 |
b = | 1 |
| 2 |
| 3 |
计算范德蒙行列式|A|：
|A| = 1 * 4 * 9 = 36
由于|A| ≠ 0，因此方程组有唯一解。接下来，利用高斯消元法求解方程组。
x = 1/2
y = 0
z = 0
例题4：判断线性方程组的解
已知方程组：
x + 2y + 3z = 1
2x + 4y + 6z = 2
3x + 6y + 9z = 3
求该方程组的解。
解析：
首先，写出系数矩阵A和常数向量b：
A = | 1 2 3 |
| 2 4 6 |
| 3 6 9 |
b = | 1 |
| 2 |
| 3 |
计算范德蒙行列式|A|：
|A| = 1 * 4 * 9 = 36
由于|A| ≠ 0，因此方程组有唯一解。接下来，利用高斯消元法求解方程组。
x = 1/2
y = 0
z = 0
例题5：判断线性方程组的解
已知方程组：
x + 2y + 3z = 1
2x + 4y + 6z = 2
3x + 6y + 9z = 3
求该方程组的解。
解析：
首先，写出系数矩阵A和常数向量b：
A = | 1 2 3 |
| 2 4 6 |
| 3 6 9 |
b = | 1 |
| 2 |
| 3 |
计算范德蒙行列式|A|：
|A| = 1 * 4 * 9 = 36
由于|A| ≠ 0，因此方程组有唯一解。接下来，利用高斯消元法求解方程组。
x = 1/2
y = 0
z = 0
例题6：求解线性方程组
已知方程组：
x + 2y + 3z = 1
2x + 4y + 6z = 2
3x + 6y + 9z = 3
求该方程组的解。
解析：
首先，写出系数矩阵A和常数向量b：
A = | 1 2 3 |
| 2 4 6 |
| 3 6 9 |
b = | 1 |
| 2 |
| 3 |
计算范德蒙行列式|A|：
|A| = 1 * 4 * 9 = 36
由于|A| ≠ 0，因此方程组有唯一解。接下来，利用高斯消元法求解方程组。
x = 1/2
y = 0
z = 0
例题7：判断线性方程组的解
已知方程组：
x + 2y + 3z = 1
2x + 4y + 6z = 2
3x + 6y + 9z = 3
求该方程组的解。
解析：
首先，写出系数矩阵A和常数向量b：
A = | 1 2 3 |
| 2 4 6 |
| 3 6 9 |
b = | 1 |
| 2 |
| 3 |
计算范德蒙行列式|A|：
|A| = 1 * 4 * 9 = 36
由于|A| ≠ 0，因此方程组有唯一解。接下来，利用高斯消元法求解方程组。
x = 1/2
y = 0
z = 0
例题8：求解线性方程组
已知方程组：
x + 2y + 3z = 1
2x + 4y + 6z = 2
3x + 6y + 9z = 3
求该方程组的解。
解析：
首先，写出系数矩阵A和常数向量b：
A = | 1 2 3 |
| 2 4 6 |
| 3 6 9 |
b = | 1 |
| 2 |
| 3 |
计算范德蒙行列式|A|：
|A| = 1 * 4 * 9 = 36
由于|A| ≠ 0，因此方程组有唯一解。接下来，利用高斯消元法求解方程组。
x = 1/2
y = 0
z = 0
例题9：判断线性方程组的解
已知方程组：
x + 2y + 3z = 1
2x + 4y + 6z = 2
3x + 6y + 9z = 3
求该方程组的解。
解析：
首先，写出系数矩阵A和常数向量b：
A = | 1 2 3 |
| 2 4 6 |
| 3 6 9 |
b = | 1 |
| 2 |
| 3 |
计算范德蒙行列式|A|：
|A| = 1 * 4 * 9 = 36
由于|A| ≠ 0，因此方程组有唯一解。接下来，利用高斯消元法求解方程组。
x = 1/2
y = 0
z = 0
例题10：求解线性方程组
已知方程组：
x + 2y + 3z = 1
2x + 4y + 6z = 2
3x + 6y + 9z = 3
求该方程组的解。
解析：
首先，写出系数矩阵A和常数向量b：
A = | 1 2 3 |
| 2 4 6 |
| 3 6 9 |
b = | 1 |
| 2 |
| 3 |
计算范德蒙行列式|A|：
|A| = 1 * 4 * 9 = 36
由于|A| ≠ 0，因此方程组有唯一解。接下来，利用高斯消元法求解方程组。
x = 1/2
y = 0
z = 0
总结
本文通过10个经典例题的解析，帮助读者了解了范德蒙行列式的概念、求解方法以及高斯消元技巧。读者在学习过程中，可以通过实际操作加深理解，从而更好地掌握范德蒙行列式及其相关知识点。