发射定理（Hilbert’s Theorem 90）是数学中一个重要的定理，尤其在代数几何和抽象代数领域有着广泛的应用。本文将详细介绍发射定理的证明过程，并探讨其实际应用。
发射定理的定义
发射定理是关于域扩张的一个基本定理，它说明了在某个域扩张中，如果有一个理想的乘积等于零，那么至少有一个理想在扩张中是零的。
设 ( K ) 是一个域，( L ) 是 ( K ) 的一个扩张，( I ) 是 ( L ) 中一个理想，如果 ( I^2 = 0 )，则存在 ( J \subseteq I ) 使得 ( J \neq 0 ) 且 ( J^2 = 0 )。
发射定理的证明
证明发射定理通常需要使用环论和域扩张的基本概念。以下是一个简化的证明过程：
- 假设：设 ( I ) 是 ( L ) 中一个理想，且 ( I^2 = 0 )。
- 构造：考虑 ( I ) 在 ( L ) 中的根式扩张 ( L(I) )，即包含 ( I ) 中所有根式的最小域。
- 证明：
- 由于 ( I^2 = 0 )，( L(I) ) 是 ( L ) 的一个正规扩张。
- 在 ( L(I) ) 中，( I ) 的每个元素都可以表示为 ( I ) 中元素的根式。
- 由于 ( I^2 = 0 )，这些根式在 ( L(I) ) 中也是零。
- 因此，( I ) 在 ( L(I) ) 中是零理想。
- 由于 ( L(I) ) 是 ( L ) 的正规扩张，( I ) 在 ( L ) 中也是零理想。
发射定理的实际应用
发射定理在数学的许多领域都有应用，以下是一些例子：
- 代数几何：在代数几何中，发射定理可以用来证明某些曲线和曲面的性质。
- 抽象代数：在抽象代数中，发射定理可以用来研究域扩张的结构。
- 数论：在数论中，发射定理可以用来研究整数环和有理数域的扩张。
应用实例
以下是一个使用发射定理的实例：
问题：证明在 ( \mathbb{Q} ) 的扩张 ( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) ) 中，理想 ( I = { a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q} } ) 是零理想。
解答：
- 由于 ( I^2 = { a^2 + 2b^2 + 2ab\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q} } = 0 )，根据发射定理，存在 ( J \subseteq I ) 使得 ( J \neq 0 ) 且 ( J^2 = 0 )。
- 考虑 ( J = { a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q} } )，显然 ( J \subseteq I ) 且 ( J \neq 0 )。
- 由于 ( J^2 = { a^2 + 2b^2 + 2ab\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q} } = 0 )，( J ) 在 ( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) ) 中是零理想。
- 因此，( I ) 也是零理想。
通过以上证明，我们展示了发射定理在数论中的应用。