行列式是线性代数中的一个重要概念，尤其在求解线性方程组、计算矩阵的逆矩阵等方面有着广泛的应用。3阶行列式是行列式计算的基础，掌握其计算技巧对于深入学习线性代数至关重要。本文将详细解析3阶行列式的计算方法，帮助读者轻松掌握并高效求解。
1. 行列式的定义
行列式是一个方阵的数值，用符号“| |”表示。对于n阶方阵，其行列式定义为：
[ \text{det}(A) = \sum_{\sigma \in Sn} \text{sgn}(\sigma) a{1\sigma(1)} a{2\sigma(2)} \ldots a{n\sigma(n)} ]
其中，( Sn ) 是所有n个元素的排列组成的对称群，( \text{sgn}(\sigma) ) 是排列 ( \sigma ) 的符号，( a{ij} ) 是方阵的元素。
2. 3阶行列式的展开
3阶行列式可以通过以下方式展开：
[ \text{det}(A) = a{11}(a{22}a{33} - a{23}a{32}) - a{12}(a{21}a{33} - a{23}a{31}) + a{13}(a{21}a{32} - a{22}a_{31}) ]
这种展开方法称为拉普拉斯展开法。
3. 计算技巧
3.1 利用行（列）展开
当某一行的元素中有许多零时，可以选择该行进行展开，这样可以简化计算。例如，如果第i行中有两个零，则可以直接利用第i行进行展开。
3.2 利用行（列）变换
通过行（列）变换，可以将行列式简化为上三角或下三角形式，从而利用对角线元素的乘积来求解。例如，将第i列的第j个元素加到第i行第k个元素上，可以使得第i行第k个元素变为1，其余元素变为0。
3.3 利用子式
对于3阶行列式，可以将其分解为两个2阶子式和一个1阶子式的乘积。例如：
[ \text{det}(A) = \text{det}(A{11}) \cdot a{31} + \text{det}(A{12}) \cdot a{32} + \text{det}(A{13}) \cdot a{33} ]
其中，( A_{ij} ) 是去掉第i行第j列后的子矩阵。
4. 例子
假设有一个3阶方阵：
[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} ]
要求其行列式。
利用行变换，可以将第2列的第1个元素加到第3列的第1个元素上，得到：
[ \text{det}(A) = \text{det}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 10 & 9 \end{bmatrix} = 1 \cdot \text{det}\begin{bmatrix} 5 & 6 \ 10 & 9 \end{bmatrix} - 2 \cdot \text{det}\begin{bmatrix} 4 & 6 \ 7 & 9 \end{bmatrix} + 3 \cdot \text{det}\begin{bmatrix} 4 & 5 \ 7 & 8 \end{bmatrix} ]
计算子行列式：
[ \text{det}\begin{bmatrix} 5 & 6 \ 10 & 9 \end{bmatrix} = 5 \cdot 9 - 6 \cdot 10 = -15 ] [ \text{det}\begin{bmatrix} 4 & 6 \ 7 & 9 \end{bmatrix} = 4 \cdot 9 - 6 \cdot 7 = 6 ] [ \text{det}\begin{bmatrix} 4 & 5 \ 7 & 8 \end{bmatrix} = 4 \cdot 8 - 5 \cdot 7 = 3 ]
将子行列式代入原行列式计算公式：
[ \text{det}(A) = 1 \cdot (-15) - 2 \cdot 6 + 3 \cdot 3 = -15 - 12 + 9 = -18 ]
因此，3阶方阵 ( A ) 的行列式为 -18。
5. 总结
掌握3阶行列式的计算技巧对于线性代数的深入学习至关重要。本文介绍了行列式的定义、展开方法以及计算技巧，并通过实例展示了如何高效求解3阶行列式。希望读者通过本文的学习，能够轻松掌握并运用这些技巧。