引言
全国大学生数学建模竞赛（简称数模竞赛）是中国大学生科技竞赛的重要组成部分，每年都会吸引大量高校学生参与。2019年的数模竞赛中，C题是一道高难度题目，涉及多个高数知识点。本文将深入解析2019全国数模C题的标准答案，帮助读者轻松破解高数难题。
问题背景与题目要求
2019年全国数模C题的具体内容如下：
设有一单自由度系统，如图所示。其中弹簧刚度为 ( k )，阻尼系数为 ( c )，质量为 ( m )。系统受到一个正弦函数 ( f(t) = F_0 \sin(\omega t + \varphi) ) 的激励，其中 ( F_0 )，( \omega )，( \varphi ) 为已知参数。试建立系统动力学方程，并研究系统在不同参数取值下的运动规律。
解题思路
解题过程可以分为以下几个步骤：
1. 建立动力学方程
首先，根据牛顿第二定律 ( F = ma )，可以得到系统的运动方程： [ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F_0 \sin(\omega t + \varphi) ]
2. 求解特征方程
将运动方程转化为特征方程： [ m\lambda^2 + c\lambda + k = 0 ]
求解特征方程，得到系统的固有频率 ( \omega_n ) 和阻尼比 ( \zeta )。
3. 求解运动方程
根据特征方程的解，可以得到系统的运动方程解的形式： [ x(t) = C_1 e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t + \alpha) + C_2 e^{-\zeta \omega_n t} \sin(\omega_d t + \alpha) ] 其中，( \omega_d = \sqrt{\omega_n^2 - \zeta^2 \omega_n^2} ) 为系统运动的角频率，( \alpha ) 为相位角。
4. 求解初始条件
根据题目给定的初始条件，求解 ( C_1 ) 和 ( C_2 ) 的值。
标准答案解析
以下是2019年全国数模C题的标准答案：
1. 建立动力学方程
[ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F_0 \sin(\omega t + \varphi) ]
2. 求解特征方程
[ m\lambda^2 + c\lambda + k = 0 ] [ \lambda = \frac{-c \pm \sqrt{c^2 - 4mk}}{2m} ] [ \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} ] [ \zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}} ]
3. 求解运动方程
[ x(t) = C_1 e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t + \alpha) + C_2 e^{-\zeta \omega_n t} \sin(\omega_d t + \alpha) ] [ \omega_d = \sqrt{\omega_n^2 - \zeta^2 \omega_n^2} ]
4. 求解初始条件
根据题目给定的初始条件，代入运动方程求解 ( C_1 ) 和 ( C_2 )。
总结
通过以上解析，我们可以清晰地看到，解决2019全国数模C题的关键在于建立准确的动力学方程，并利用特征方程求解系统的固有频率和阻尼比，进而求解运动方程。掌握这些知识点，对于破解高数难题具有重要意义。