1. 难题概述
2015年全国一卷数学试题中，有多道题目被广大师生公认为难题，其中最具代表性的题目包括选择题、填空题和解答题。这些题目不仅考查了学生的基础知识，还考验了他们的逻辑思维、创新能力和解题技巧。
2. 选择题难题解析
2.1 题目回顾
选择题第20题：设\(f(x)=x^3-3x^2+2x+1\)，\(g(x)=2x^3-6x^2+4x\)，则\(\frac{f(x)}{g(x)}\)的值域为（ ）
A. \([0,1]\) B. \([-1,1]\) C. \([-1,2]\) D. \([0,2]\)
2.2 解题技巧
这道题目主要考查了函数值域的求解和函数的性质。解题步骤如下：
- 求出\(f(x)\)和\(g(x)\)的零点，得到它们在实数轴上的变化情况；
- 分析\(f(x)\)和\(g(x)\)的符号，进而确定\(\frac{f(x)}{g(x)}\)的符号；
- 利用零点分段法，求解\(\frac{f(x)}{g(x)}\)的值域。
2.3 答案解析
答案为A。\(f(x)\)的零点为\(x=1\)，\(g(x)\)的零点为\(x=0\)和\(x=2\)。当\(x<0\)时，\(f(x)\)和\(g(x)\)同号，\(\frac{f(x)}{g(x)}>0\)；当\(0<x<1\)时，\(f(x)<0\)，\(g(x)>0\)，\(\frac{f(x)}{g(x)}<0\)；当\(1<x<2\)时，\(f(x)>0\)，\(g(x)>0\)，\(\frac{f(x)}{g(x)}>0\)；当\(x>2\)时，\(f(x)>0\)，\(g(x)<0\)，\(\frac{f(x)}{g(x)}<0\)。因此，\(\frac{f(x)}{g(x)}\)的值域为\([0,1]\)。
3. 填空题难题解析
3.1 题目回顾
填空题第21题：设\(a>0\)，\(b>0\)，\(c>0\)，且\(a+b+c=1\)，则\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)的最小值为（ ）
3.2 解题技巧
这道题目主要考查了基本不等式的应用。解题步骤如下：
- 根据条件\(a+b+c=1\)，将\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)转化为\(\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\)；
- 应用基本不等式，即\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq2\)，求解\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)的最小值。
3.3 答案解析
答案为\(\frac{9}{2}\)。将\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)转化为\(\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\)，得到\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}\)。由基本不等式得\(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geq2\)，\(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\geq2\)，\(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\geq2\)。将这三个不等式相加，得到\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq9\)。当且仅当\(a=b=c=\frac{1}{3}\)时，等号成立，此时\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)的最小值为\(\frac{9}{2}\)。
4. 解答题难题解析
4.1 题目回顾
解答题第22题：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+2x+1\)，求\(f(x)\)的极值。
4.2 解题技巧
这道题目主要考查了函数极值的求解。解题步骤如下：
- 求出\(f(x)\)的导数\(f'(x)\)；
- 令\(f'(x)=0\)，求出\(f(x)\)的驻点；
- 分析\(f(x)\)在驻点两侧的增减情况，判断驻点为极大值点还是极小值点。
4.3 答案解析
答案为极大值\(f(1)=0\)，极小值\(f(2)=1\)。求出\(f'(x)=3x^2-6x+2\)，令\(f'(x)=0\)，得到\(x_1=1\)，\(x_2=2\)。当\(x<1\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；当\(1<x<2\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减；当\(x>2\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增。因此，\(x=1\)为极大值点，\(f(1)=0\)；\(x=2\)为极小值点，\(f(2)=1\)。
5. 总结
2015年全国一卷数学试题中的难题，既考查了学生的基础知识，又考察了他们的解题技巧。通过以上解析，相信同学们对这些题目有了更深入的理解。在今后的学习中，希望大家能够注重基础知识的学习，提高解题技巧，为高考做好充分准备。