引言
在江西专升本的高数考试中，求极值是一个重要的考点。掌握求极值的技巧对于提高考试成绩至关重要。本文将详细解析江西专升本高数求极值的技巧，帮助考生轻松掌握得分关键。
一、极值的概念
极值是指函数在某个区间内的最大值或最小值。在江西专升本高数考试中，主要考察一元函数的极值。
二、求极值的步骤
- 求导数：首先，对函数进行求导，得到导函数。
- 求导数的零点：将导函数置零，解出导数的零点。
- 判断极值：通过一阶导数的符号变化，判断导数的零点是否为极值点。
- 求极值：将极值点代入原函数，得到极值。
三、求极值的技巧
1. 利用导数的符号变化判断极值
- 当导数从正变负时，函数在该点取得极大值。
- 当导数从负变正时，函数在该点取得极小值。
2. 利用二阶导数判断极值点的性质
- 当二阶导数大于零时，极值点为极小值点。
- 当二阶导数小于零时，极值点为极大值点。
- 当二阶导数等于零时，无法直接判断极值点的性质。
3. 利用导数的奇偶性简化计算
- 对于偶函数，只需计算导数的零点即可。
- 对于奇函数，导数的零点即为极值点。
4. 利用拉格朗日中值定理
- 当函数在闭区间上连续，在开区间内可导时，根据拉格朗日中值定理，至少存在一个点，使得导数等于函数在该区间上的最大值或最小值。
四、实例分析
例题：求函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\) 在区间 \([-1, 3]\) 上的极值。
解答：
- 求导数：\(f'(x) = 3x^2 - 6x\)。
- 求导数的零点：\(3x^2 - 6x = 0\)，解得 \(x = 0\) 或 \(x = 2\)。
- 判断极值：在 \(x = 0\) 处，\(f'(x)\) 从正变负，故 \(x = 0\) 为极大值点；在 \(x = 2\) 处，\(f'(x)\) 从负变正，故 \(x = 2\) 为极小值点。
- 求极值：\(f(0) = 4\)，\(f(2) = 0\)。
因此，函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\) 在区间 \([-1, 3]\) 上的极大值为 \(4\)，极小值为 \(0\)。
五、总结
掌握求极值的技巧对于江西专升本高数考试至关重要。通过本文的解析，相信考生能够轻松掌握求极值的技巧，提高考试成绩。