机械振动是工程学科中的一个重要分支，它研究的是机械系统在受到外部干扰或内部因素作用下的动态响应。掌握机械振动的基本原理和解决实际问题的能力对于工程师来说至关重要。以下是一些机械振动课后习题的解析与答案集锦，希望能帮助你更好地理解和掌握这门课程。
习题一：单自由度系统的自由振动
题目：一个质量为m的物体悬挂在弹簧上，弹簧刚度为k，求系统的固有频率和位移表达式。
解析：
固有频率：系统的固有频率ω₀可以通过以下公式计算： [ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} ] 其中，k是弹簧刚度，m是物体的质量。
位移表达式：系统的位移x(t)可以用以下公式表示： [ x(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi) ] 其中，A是振幅，ω₀是固有频率，φ是初相位。
答案：
- 固有频率ω₀ = √(k/m)
- 位移表达式x(t) = A cos(√(k/m) t + φ)
习题二：受迫振动
题目：一个质量为m的物体悬挂在弹簧上，弹簧刚度为k，受到一个幅值为F、频率为ω的周期性外力作用，求系统的稳态响应。
解析：
稳态响应：稳态响应是指系统在经过一定时间后，其振动幅度趋于稳定的状态。稳态响应的位移x(t)可以用以下公式表示： [ x(t) = \frac{F}{m \omega^2 - k^2} \left[ m \omega^2 \cos(\omega t + \phi) - k \omega \sin(\omega t + \phi) \right] ] 其中，F是外力幅值，ω是外力频率，k是弹簧刚度，m是物体质量。
相位角φ：相位角φ可以通过以下公式计算： [ \tan(\phi) = \frac{k \omega}{m \omega^2 - k^2} ]
答案：
- 稳态响应位移x(t) = (F / (mω² - k²)) [mω² cos(ωt + φ) - kω sin(ωt + φ)]
- 相位角φ = arctan(kω / (mω² - k²))
习题三：阻尼振动
题目：一个质量为m的物体悬挂在弹簧上，弹簧刚度为k，受到阻尼系数为c的阻尼力作用，求系统的稳态响应。
解析：
阻尼比ζ：阻尼比ζ是衡量阻尼力对系统振动影响大小的参数，可以通过以下公式计算： [ \zeta = \frac{c}{2 \sqrt{mk}} ] 其中，c是阻尼系数，k是弹簧刚度，m是物体质量。
稳态响应：稳态响应的位移x(t)可以用以下公式表示： [ x(t) = \frac{F}{m \omega^2 - 2 \zeta \omega_0} \left[ m \omega^2 \cos(\omega t + \phi) - 2 \zeta \omega_0 \sin(\omega t + \phi) \right] ] 其中，F是外力幅值，ω是外力频率，ω₀是固有频率。
答案：
- 阻尼比ζ = c / (2√(mk))
- 稳态响应位移x(t) = (F / (mω² - 2ζω₀)) [mω² cos(ωt + φ) - 2ζω₀ sin(ωt + φ)]
通过以上解析与答案集锦，相信你对机械振动课后习题有了更深入的理解。在学习过程中，多加练习，不断总结，才能更好地掌握这门课程。