机械振动是工程领域中一个非常重要的分支，它研究的是机械系统在外力作用下的动态响应。在机械振动中，单自由度系统是一个基本的模型，用于分析和预测简单机械结构的动态行为。本篇文章将解析几个典型的单自由度系统例题，帮助读者更好地理解单自由度系统的振动特性。
例题一：质量-弹簧系统自由振动
问题描述： 一个质量为 ( m = 10 \, \text{kg} ) 的物体，连接到一个弹簧上，弹簧的劲度系数 ( k = 100 \, \text{N/m} )。系统初始时处于静止状态，弹簧被拉伸了 ( x_0 = 0.1 \, \text{m} )。求系统的固有频率、稳态响应和位移随时间的变化规律。
解题步骤：
计算固有频率： [ \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{100}{10}} = 3.16 \, \text{rad/s} ]
建立运动方程： [ m\ddot{x} + kx = 0 ] 其中，( \ddot{x} ) 是位移的二阶导数。
求解微分方程： 令 ( x(t) = A \cos(\omega t + \phi) )，代入运动方程得： [ -mA\omega^2 \cos(\omega t + \phi) + kA \cos(\omega t + \phi) = 0 ] 简化后得： [ A(\omega_n^2 - \omega^2) = 0 ] 解得 ( \omega = \omega_n )，即固有频率。
确定初始条件： [ x(0) = x_0, \quad \dot{x}(0) = 0 ] 代入初始条件求解 ( A ) 和 ( \phi )。
计算稳态响应： 稳态响应是指系统在达到稳定状态后的振动形式。对于自由振动，稳态响应即为自由振动的形式。
位移随时间的变化规律： 根据上述求解结果，可以得到位移随时间的变化规律。
例题二：质量-弹簧-阻尼系统受迫振动
问题描述： 一个质量为 ( m = 10 \, \text{kg} ) 的物体，连接到一个弹簧和阻尼器上，弹簧的劲度系数 ( k = 100 \, \text{N/m} )，阻尼系数 ( c = 20 \, \text{Ns/m} )。系统初始时处于静止状态，弹簧被拉伸了 ( x_0 = 0.1 \, \text{m} )。一个周期性外力 ( F(t) = 50 \cos(10t) ) 作用于系统。求系统的稳态响应。
解题步骤：
计算固有频率： [ \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} = 3.16 \, \text{rad/s} ]
计算阻尼比： [ \xi = \frac{c}{2\sqrt{mk}} = 0.4 ]
判断振动类型： 由于 ( \xi = 0.4 )，系统处于过阻尼状态。
建立运动方程： [ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F(t) ]
求解微分方程： 由于系统处于过阻尼状态，运动方程的解为： [ x(t) = C_1 e^{-\xi \omega_n t} + C_2 e^{-\xi \omega_n t} ] 其中，( C_1 ) 和 ( C_2 ) 是待定常数。
确定初始条件： [ x(0) = x_0, \quad \dot{x}(0) = 0 ] 代入初始条件求解 ( C_1 ) 和 ( C_2 )。
计算稳态响应： 稳态响应是指系统在达到稳定状态后的振动形式。对于受迫振动，稳态响应即为稳态响应的形式。
通过以上两个例题的解析，读者可以更好地理解单自由度系统的振动特性。在实际工程应用中，单自由度系统的分析方法可以帮助我们预测和优化机械结构的动态行为。