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计算欧拉角ZYZ：详解三维空间中绕Z轴、Y轴、Z轴旋转的原理及步骤

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在三维空间中，欧拉角是一种描述物体姿态的方法，它通过三个连续的旋转来描述物体从初始参考坐标系到当前坐标系的变换。ZYZ欧拉角表示先绕Z轴旋转一个角度，然后绕新的Y轴旋转，最后再绕Z轴旋转。以下是详细解析：

欧拉角ZYZ的原理

欧拉角ZYZ的三个角度分别代表：

  1. 绕Z轴旋转角度（φ）：这个角度称为偏航角（yaw），它决定了物体在水平面上的旋转方向。
  2. 绕Y轴旋转角度（θ）：这个角度称为俯仰角（pitch），它决定了物体在垂直平面内的旋转方向。
  3. 绕Z轴旋转角度（ψ）：这个角度称为翻滚角（roll），它决定了物体绕其自身轴的旋转。

这些角度的组合定义了物体在三维空间中的姿态。

计算步骤

1. 初始坐标系定义

首先，定义一个初始的坐标系，通常这个坐标系是固定的，比如地面坐标系。

2. 定义旋转轴

ZYZ欧拉角按照以下顺序进行旋转：

  • 绕Z轴旋转（φ）：定义一个与Z轴平行的旋转轴。
  • 绕Y轴旋转（θ）：定义一个与Y轴平行的旋转轴。
  • 绕Z轴旋转（ψ）：定义一个与Z轴平行的旋转轴。

3. 应用旋转

按照ZYZ的顺序，应用这三个旋转：

绕Z轴旋转（φ）

假设初始坐标系为\(X_0Y_0Z_0\)，绕Z轴旋转φ角度后，新的坐标系为\(X_1Y_1Z_1\)。旋转矩阵\(R_1\)可以表示为：

R_1 = | cos(φ) -sin(φ) 0 |
      | sin(φ)  cos(φ) 0 |
      | 0        0      1 |

绕Y轴旋转（θ）

接着，绕新的Y轴\(Y_1\)旋转θ角度，新的坐标系为\(X_2Y_2Z_2\)。旋转矩阵\(R_2\)为：

R_2 = | cos(θ) 0 sin(θ) |
      | 0      1      0 |
      | -sin(θ) 0 cos(θ) |

绕Z轴旋转（ψ）

最后，绕新的Z轴\(Z_2\)旋转ψ角度，坐标系变为\(X_3Y_3Z_3\)。旋转矩阵\(R_3\)为：

R_3 = | cos(ψ) -sin(ψ) 0 |
      | sin(ψ)  cos(ψ) 0 |
      | 0        0      1 |

4. 计算最终的旋转矩阵

将三个旋转矩阵相乘，得到最终的旋转矩阵\(R\)：

R = R_3 * R_2 * R_1

这个旋转矩阵\(R\)描述了从初始坐标系到最终坐标系\(X_3Y_3Z_3\)的变换。

总结

计算ZYZ欧拉角需要按照一定的顺序进行三次旋转，并且每次旋转都会改变后续旋转的轴。理解这些旋转的原理和步骤对于在三维空间中进行姿态计算和机器人控制等领域至关重要。

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