积分变换是数学分析中的一个重要工具，它可以将复杂的积分问题转化为简单的代数问题。以下是一些常见的积分变换习题及其解答详解。
1. 换元积分法
题目：计算积分 \(\int \sqrt{1-x^2} \, dx\)。
解答：
首先，我们注意到被积函数 \(\sqrt{1-x^2}\) 与单位圆的方程 \(x^2 + y^2 = 1\) 的关系。因此，我们可以考虑使用三角换元法。
设 \(x = \sin t\)，则 \(dx = \cos t \, dt\)。代入原积分，得到： $\( \int \sqrt{1-x^2} \, dx = \int \sqrt{1-\sin^2 t} \cos t \, dt = \int \cos^2 t \, dt. \)$
接下来，我们使用倍角公式 \(\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}\) 进行化简： $\( \int \cos^2 t \, dt = \int \frac{1 + \cos 2t}{2} \, dt = \frac{1}{2} \int 1 \, dt + \frac{1}{2} \int \cos 2t \, dt. \)$
计算上述积分，得到： $\( \frac{1}{2} \int 1 \, dt + \frac{1}{2} \int \cos 2t \, dt = \frac{1}{2} t + \frac{1}{4} \sin 2t + C. \)$
最后，将 \(t\) 换回 \(x\)，得到： $\( \frac{1}{2} t + \frac{1}{4} \sin 2t + C = \frac{1}{2} \arcsin x + \frac{1}{4} \sin(2\arcsin x) + C. \)$
2. 分部积分法
题目：计算积分 \(\int x^2 e^x \, dx\)。
解答：
对于这类积分，我们可以使用分部积分法。设 \(u = x^2\)，\(dv = e^x \, dx\)，则 \(du = 2x \, dx\)，\(v = e^x\)。
根据分部积分公式 \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\)，我们有： $\( \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx. \)$
再次使用分部积分法，设 \(u = 2x\)，\(dv = e^x \, dx\)，则 \(du = 2 \, dx\)，\(v = e^x\)。代入上式，得到： $\( x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx = x^2 e^x - 2x e^x + \int 2 e^x \, dx. \)$
计算上述积分，得到： $\( x^2 e^x - 2x e^x + \int 2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x + C. \)$
化简得到最终答案： $\( \int x^2 e^x \, dx = (x^2 - 2x + 2) e^x + C. \)$
3. 三角函数积分
题目：计算积分 \(\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\)。
解答：
这个积分可以通过三角换元法来解决。设 \(x = \sin t\)，则 \(dx = \cos t \, dt\)。代入原积分，得到： $\( \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 t}} \cos t \, dt = \int \frac{1}{\cos t} \cos t \, dt = \int 1 \, dt. \)$
计算上述积分，得到： $\( \int 1 \, dt = t + C. \)$
最后，将 \(t\) 换回 \(x\)，得到： $\( t + C = \arcsin x + C. \)$
通过以上三个例子，我们可以看到积分变换在解决各种积分问题中的应用。掌握积分变换的方法和技巧对于数学学习和实际应用都非常重要。