一、前言
合肥工业大学的高数习题册是许多理工科学生提高数学能力的重要工具。这份习题册包含了丰富的题目，旨在帮助学生巩固基础、提升解题技巧。在这里，我们将对习题册中的部分典型题目进行详解，并提供答案集锦，希望能对同学们的学习有所帮助。
二、典型题目详解
1. 微积分基本定理的应用
题目：求函数 ( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 ) 在区间 ([1, 4]) 上的定积分。
解答：
首先，我们需要找到原函数 ( F(x) )。对于 ( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 )，其导数 ( f’(x) = 3x^2 - 6x )。
积分 ( F(x) ) 可以通过对 ( f(x) ) 进行不定积分得到： [ F(x) = \int (x^3 - 3x^2 + 4) dx = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 4x + C ]
由于不定积分存在常数项 ( C )，在计算定积分时，这个常数项会被抵消。
接下来，计算定积分： [ \int_{1}^{4} (x^3 - 3x^2 + 4) dx = F(4) - F(1) = (\frac{1}{4} \times 4^4 - 4^3 + 4 \times 4) - (\frac{1}{4} \times 1^4 - 1^3 + 4 \times 1) ] [ = (64 - 64 + 16) - (0.25 - 1 + 4) = 16 - 3.75 = 12.25 ]
因此，该函数在区间 ([1, 4]) 上的定积分为 12.25。
2. 线性代数矩阵的秩
题目：给定矩阵 ( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} )，求矩阵 ( A ) 的秩。
解答：
矩阵的秩可以通过高斯消元法来求解。首先，将矩阵 ( A ) 转化为行阶梯形式。
[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2 - 4r_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & -3 & -6 \ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3 - 7r_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & -3 & -6 \ 0 & -6 & 0 \end{pmatrix} ]
观察行阶梯形式，我们发现第一个非零行是第一个行，因此矩阵 ( A ) 的秩为 1。
三、答案集锦
以下是合肥工业大学高数习题册中一些典型题目的答案集锦：
- 极限：计算 ( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} ) 的值为 1。
- 导数：函数 ( f(x) = e^x ) 的导数仍然是 ( f’(x) = e^x )。
- 二重积分：计算 ( \iint_D x^2 dA ) 其中 ( D ) 是由 ( y = x^2 ) 和 ( x = 1 ) 围成的区域。
四、结语
通过以上对合肥工业大学高数习题册中典型题目的详解和答案集锦的提供，希望能够帮助同学们更好地掌握数学知识，提高解题能力。在学习过程中，要注重理解和运用数学概念，多加练习，逐步提高自己的数学水平。