例题一：函数的单调性
题目：已知函数 ( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4 )，求函数的单调区间。
解题过程：
求导数：首先，我们需要求出函数 ( f(x) ) 的导数 ( f’(x) )。 [ f’(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 + 4) = 6x^2 - 6x ]
求导数的零点：接下来，我们需要找出导数等于零的点，即解方程 ( 6x^2 - 6x = 0 )。 [ 6x(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ 或 } x = 1 ]
确定单调区间：我们将实数轴分为三个区间：( (-\infty, 0) )，( (0, 1) )，( (1, +\infty) )。然后，我们选择每个区间中的一个测试点，代入导数中，判断导数的符号。
- 当 ( x < 0 ) 时，取 ( x = -1 )，则 ( f’(-1) = 6(-1)^2 - 6(-1) = 12 > 0 )，说明在区间 ( (-\infty, 0) ) 上，函数是增函数。
- 当 ( 0 < x < 1 ) 时，取 ( x = \frac{1}{2} )，则 ( f’(\frac{1}{2}) = 6(\frac{1}{2})^2 - 6(\frac{1}{2}) = -3 < 0 )，说明在区间 ( (0, 1) ) 上，函数是减函数。
- 当 ( x > 1 ) 时，取 ( x = 2 )，则 ( f’(2) = 6(2)^2 - 6(2) = 12 > 0 )，说明在区间 ( (1, +\infty) ) 上，函数是增函数。
答案：函数 ( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4 ) 的单调增区间是 ( (-\infty, 0) ) 和 ( (1, +\infty) )，单调减区间是 ( (0, 1) )。
例题二：函数的极值
题目：已知函数 ( g(x) = x^4 - 8x^3 + 18x^2 )，求函数的极值。
解题过程：
求导数：求函数 ( g(x) ) 的导数 ( g’(x) )。 [ g’(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 8x^3 + 18x^2) = 4x^3 - 24x^2 + 36x ]
求导数的零点：解方程 ( 4x^3 - 24x^2 + 36x = 0 )。 [ 4x(x^2 - 6x + 9) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ 或 } x = 3 ]
确定极值点：通过二次导数检验或导数的符号变化确定极值点。
- 当 ( x = 0 ) 时，( g”(0) = 0 )，无法确定极值。
- 当 ( x = 3 ) 时，( g”(3) = 36 > 0 )，说明 ( x = 3 ) 是极小值点。
计算极值：代入原函数求极值。 [ g(3) = 3^4 - 8 \cdot 3^3 + 18 \cdot 3^2 = 81 - 216 + 162 = 27 ]
答案：函数 ( g(x) = x^4 - 8x^3 + 18x^2 ) 在 ( x = 3 ) 处取得极小值，极小值为 27。
通过以上例题，我们可以看到，解决高中数学函数问题时，关键在于正确运用导数，分析函数的单调性、极值等性质。这些方法不仅适用于上述例题，也可以推广到其他类似的函数问题中。