一、代数部分
1. 题目
设函数 \(f(x) = ax^2 + bx + c\)，其中 \(a \neq 0\)。若 \(f(1) = 2\)，\(f(2) = 5\)，求 \(f(3)\) 的值。
解答
首先，根据题目给出的条件，我们可以列出两个方程： [ a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 2 ] [ a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c = 5 ]
这两个方程可以简化为： [ a + b + c = 2 ] [ 4a + 2b + c = 5 ]
接下来，我们用第二个方程减去第一个方程，得到： [ 3a + b = 3 ]
现在我们有两个方程： [ a + b + c = 2 ] [ 3a + b = 3 ]
从第二个方程中解出 \(b\)： [ b = 3 - 3a ]
将 \(b\) 的表达式代入第一个方程中： [ a + (3 - 3a) + c = 2 ] [ -2a + c = -1 ] [ c = 2a - 1 ]
现在我们有 \(b\) 和 \(c\) 的表达式，代入 \(f(3)\)： [ f(3) = a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c ] [ f(3) = 9a + 3(3 - 3a) + (2a - 1) ] [ f(3) = 9a + 9 - 9a + 2a - 1 ] [ f(3) = 2a + 8 ]
由于我们不知道 \(a\) 的具体值，所以 \(f(3)\) 的值取决于 \(a\)。但根据题目要求，我们只需要给出解答过程，所以这里不具体求出 \(a\) 的值。
答案
\(f(3) = 2a + 8\)
二、几何部分
2. 题目
在直角坐标系中，点 \(A(2, 3)\) 关于直线 \(y = x\) 的对称点为 \(B\)，求点 \(B\) 的坐标。
解答
点 \(A(2, 3)\) 关于直线 \(y = x\) 的对称点 \(B\) 的坐标可以通过以下步骤求得：
- 找到直线 \(y = x\) 上的点 \(C\)，使得 \(AC\) 垂直于 \(y = x\)。
- 因为 \(y = x\) 的斜率为 1，所以 \(AC\) 的斜率为 \(-1\)。
- 点 \(A\) 和点 \(C\) 的中点 \(D\) 在直线 \(y = x\) 上，所以 \(D\) 的坐标满足 \(y = x\)。
- 由于 \(AC\) 垂直于 \(y = x\)，\(AD\) 的长度等于 \(AC\) 的长度，且 \(AD\) 和 \(AC\) 互相平分。
设点 \(C\) 的坐标为 \((x, x)\)，则点 \(D\) 的坐标为 \(\left(\frac{2+x}{2}, \frac{3+x}{2}\right)\)。因为 \(D\) 在直线 \(y = x\) 上，所以有： [ \frac{2+x}{2} = \frac{3+x}{2} ] [ 2+x = 3+x ] [ x = 1 ]
所以点 \(C\) 的坐标为 \((1, 1)\)，点 \(D\) 的坐标为 \((\frac{3}{2}, \frac{5}{2})\)。
由于 \(AD\) 和 \(AC\) 互相平分，所以 \(AD\) 的长度等于 \(AC\) 的长度。\(AC\) 的长度为： [ AC = \sqrt{(2-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} ]
因此，\(AD\) 的长度也是 \(\sqrt{5}\)。所以，点 \(B\) 的坐标可以通过以下公式求得： [ B = (2x - 2, 2y - 3) ] [ B = (2 \cdot 1 - 2, 2 \cdot 3 - 3) ] [ B = (0, 3) ]
答案
点 \(B\) 的坐标为 \((0, 3)\)。
三、综合应用
3. 题目
某班共有 \(30\) 名学生，其中男生 \(20\) 名，女生 \(10\) 名。随机抽取 \(3\) 名学生参加比赛，求抽取的 \(3\) 名学生中至少有 \(1\) 名女生的概率。
解答
首先，我们需要计算总的抽取方式，即从 \(30\) 名学生中抽取 \(3\) 名学生的组合数，用组合公式表示为 \(C(30, 3)\)。
然后，我们计算没有女生的抽取方式，即从 \(20\) 名男生中抽取 \(3\) 名学生的组合数，用组合公式表示为 \(C(20, 3)\)。
至少有 \(1\) 名女生的概率可以通过以下公式计算： [ P = 1 - \frac{C(20, 3)}{C(30, 3)} ]
计算组合数： [ C(30, 3) = \frac{30!}{3!(30-3)!} = \frac{30 \times 29 \times 28}{3 \times 2 \times 1} = 4060 ] [ C(20, 3) = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140 ]
所以概率为： [ P = 1 - \frac{1140}{4060} = 1 - 0.28 = 0.72 ]
答案
抽取的 \(3\) 名学生中至少有 \(1\) 名女生的概率为 \(0.72\)。