例1：数列问题
题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，且S1=1，S2=3，S3=7，求S4。
解答：
- 根据题意，得到数列的前三项：a1=1，a2=2，a3=4。
- 观察数列，发现每一项都是前一项的两倍，即an=2^(n-1)。
- 利用数列的通项公式，计算S4： S4 = a1 + a2 + a3 + a4 = 1 + 2 + 4 + 8 = 15。
答案：S4=15。
例2：排列组合问题
题目：从5个不同的球中取出3个，有多少种不同的取法？
解答：
- 使用组合公式C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)，其中n为总数，m为取出的数量。
- 将题目中的数据代入公式，得到： C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10。
答案：共有10种不同的取法。
例3：概率问题
题目：从一副52张的扑克牌中，随机抽取一张牌，求抽到红桃的概率。
解答：
- 红桃牌有13张，总牌数为52张。
- 利用概率公式P(A) = n(A) / n(S)，其中n(A)为事件A的样本点数，n(S)为样本空间的总数。
- 将题目中的数据代入公式，得到： P(红桃) = 13 / 52 = 1 / 4。
答案：抽到红桃的概率为1/4。
例4：几何问题
题目：已知正方形的对角线长为2，求正方形的面积。
解答：
- 根据正方形的性质，对角线长度等于边长的√2倍。
- 设正方形的边长为a，则a√2=2。
- 解得a=√2。
- 利用正方形的面积公式S=a^2，计算面积： S = (√2)^2 = 2。
答案：正方形的面积为2。
例5：数列与函数问题
题目：已知数列{an}的通项公式为an=2n-1，求前n项和Tn。
解答：
- 利用数列的通项公式，得到前n项： a1=1，a2=3，a3=5，…，an=2n-1。
- 使用数列求和公式Tn = n(a1 + an) / 2，计算前n项和： Tn = n(1 + (2n-1)) / 2 = n^2。
答案：前n项和Tn=n^2。
例6：不等式问题
题目：已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2≥1/3。
解答：
- 利用柯西不等式(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)≥(a+b+c)^2。
- 代入题目中的数据，得到： (a^2+b^2+c^2) * 3 ≥ 1^2 a^2+b^2+c^2 ≥ 1/3。
答案：不等式成立。
例7：概率与统计问题
题目：从1到9这9个数字中随机抽取3个数字，求这三个数字能组成一个三位数的概率。
解答：
- 总共有9个数字，从中抽取3个数字，共有C(9, 3)种取法。
- 这3个数字能组成一个三位数，共有3!种排列方式。
- 利用概率公式P(A) = n(A) / n(S)，其中n(A)为事件A的样本点数，n(S)为样本空间的总数。
- 将题目中的数据代入公式，得到： P(组成三位数) = 3! / C(9, 3) = 6 / 84 = 1 / 14。
答案：这三个数字能组成一个三位数的概率为1/14。
例8：数列与函数问题
题目：已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求函数的最小值。
解答：
- 利用二次函数的性质，当x=-b/2a时，函数取得最小值。
- 将函数f(x) = x^2 - 4x + 4写成标准形式，得到f(x) = (x-2)^2。
- 由标准形式可知，当x=2时，函数取得最小值。
- 最小值为f(2) = (2-2)^2 = 0。
答案：函数的最小值为0。
例9：几何问题
题目：已知等边三角形的边长为a，求三角形内切圆的半径。
解答：
- 利用等边三角形的性质，内切圆的半径r等于边长a的1/3。
- 将题目中的数据代入公式，得到： r = a / 3。
答案：内切圆的半径为a/3。
例10：数列与函数问题
题目：已知数列{an}的通项公式为an=3n-2，求前n项和Tn。
解答：
- 利用数列的通项公式，得到前n项： a1=1，a2=4，a3=7，…，an=3n-2。
- 使用数列求和公式Tn = n(a1 + an) / 2，计算前n项和： Tn = n(1 + (3n-2)) / 2 = 3n^2⁄2 - n/2。
答案：前n项和Tn=3n^2⁄2 - n/2。