一、代数基础
1. 解一元一次方程
题目示例： 解方程 (2x + 3 = 7)。
解析： 首先，将方程中的常数项移到等式右边： [ 2x = 7 - 3 ] [ 2x = 4 ]
然后，将等式两边同时除以未知数的系数： [ x = \frac{4}{2} ] [ x = 2 ]
答案： ( x = 2 )
2. 解一元二次方程
题目示例： 解方程 (x^2 - 5x + 6 = 0)。
解析： 这是一个标准的一元二次方程，可以使用求根公式： [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] 其中，(a = 1), (b = -5), (c = 6)。
代入公式得： [ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} ] [ x = \frac{5 \pm 1}{2} ]
得到两个解： [ x_1 = \frac{6}{2} = 3 ] [ x_2 = \frac{4}{2} = 2 ]
答案： ( x_1 = 3 ), ( x_2 = 2 )
二、几何基础
1. 直线与圆的位置关系
题目示例： 已知直线 (y = 2x + 1) 与圆 (x^2 + y^2 = 25) 相交，求交点坐标。
解析： 将直线方程代入圆的方程中，得到： [ x^2 + (2x + 1)^2 = 25 ] [ x^2 + 4x^2 + 4x + 1 = 25 ] [ 5x^2 + 4x - 24 = 0 ]
解这个一元二次方程，可以使用求根公式或者因式分解。这里我们选择因式分解： [ (5x - 6)(x + 4) = 0 ]
得到两个解： [ x_1 = \frac{6}{5} ] [ x_2 = -4 ]
将这两个解分别代入直线方程，得到对应的 (y) 值： [ y_1 = 2 \times \frac{6}{5} + 1 = \frac{17}{5} ] [ y_2 = 2 \times (-4) + 1 = -7 ]
答案： 交点坐标为 (\left(\frac{6}{5}, \frac{17}{5}\right)) 和 ((-4, -7))。
2. 三角形面积计算
题目示例： 已知一个三角形的底为 (6)，高为 (4)，求三角形的面积。
解析： 三角形的面积公式为： [ S = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} ]
代入已知数值： [ S = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 ] [ S = 12 ]
答案： 三角形的面积为 (12) 平方单位。
三、函数基础
1. 函数单调性
题目示例： 判断函数 (f(x) = x^3 - 3x + 2) 在区间 ([-1, 2]) 上的单调性。
解析： 首先，求函数的导数： [ f’(x) = 3x^2 - 3 ]
然后，找出导数为零的点，即函数的临界点： [ 3x^2 - 3 = 0 ] [ x^2 = 1 ] [ x = \pm 1 ]
在区间 ([-1, 2]) 上，我们只需要考虑 (x = 1)。计算 (f’(x)) 在 (x = 1) 的值： [ f’(1) = 3 \times 1^2 - 3 = 0 ]
由于 (f’(x)) 在 (x = 1) 处为零，我们需要进一步分析 (f’(x)) 在 (x = 1) 两侧的符号。通过测试 (x = 0) 和 (x = 2)，我们可以发现 (f’(x)) 在 (x = 1) 两侧都是正的，因此函数在区间 ([-1, 2]) 上是单调递增的。
答案： 函数 (f(x) = x^3 - 3x + 2) 在区间 ([-1, 2]) 上是单调递增的。