习题2：函数的极限计算
题目
计算以下函数的极限： [ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} ]
解答思路
这是一个典型的“0/0”型不定式问题。为了解决这个问题，我们可以使用因式分解的方法。
解答步骤
- 因式分解：首先对分子进行因式分解。 [ x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2) ]
- 简化表达式：将因式分解后的表达式代入原极限中。 [ \lim_{x \to 2} \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2} ]
- 约分：由于 (x \neq 2)，我们可以约去分子和分母中的 (x - 2)。 [ \lim_{x \to 2} (x + 2) ]
- 计算极限：将 (x) 的值代入简化后的表达式中。 [ \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4 ]
答案
[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4 ]
习题3：导数的应用
题目
已知函数 ( f(x) = x^3 - 3x )，求其在 ( x = 1 ) 处的导数。
解答思路
要求函数在某一点的导数，我们需要使用导数的定义，即极限形式。
解答步骤
- 导数定义：根据导数的定义，我们有 [ f’(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} ]
- 代入函数：将 ( f(x) = x^3 - 3x ) 代入导数定义中。 [ f’(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^3 - 3(x + h) - (x^3 - 3x)}{h} ]
- 展开并简化：展开 ( (x + h)^3 ) 并进行简化。 [ f’(x) = \lim{h \to 0} \frac{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 3x - 3h - x^3 + 3x}{h} ] [ f’(x) = \lim{h \to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 3h}{h} ]
- 约分：约去 (h)。 [ f’(x) = \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2 - 3) ]
- 计算导数：将 ( h = 0 ) 代入简化后的表达式中。 [ f’(1) = 3(1)^2 + 3(1)(0) + (0)^2 - 3 = 3 - 3 = 0 ]
答案
[ f’(1) = 0 ]
以上就是对高数习题2和习题3的详细解答与答案解析。希望这些步骤能够帮助你更好地理解极限和导数的概念及其应用。