一、函数与导数
1. 函数的单调性
例题：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x + 1\)，求\(f(x)\)的单调区间。
解析：
- 首先，求出\(f(x)\)的导数：\(f'(x) = 3x^2 - 3\)。
- 令\(f'(x) = 0\)，解得\(x = \pm 1\)。
- 当\(x < -1\)时，\(f'(x) > 0\)，函数单调递增；
- 当\(-1 < x < 1\)时，\(f'(x) < 0\)，函数单调递减；
- 当\(x > 1\)时，\(f'(x) > 0\)，函数单调递增。
解题技巧：求出函数的导数，令导数等于0，求出导数的零点，分析导数的符号，从而确定函数的单调区间。
2. 函数的极值
例题：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x + 1\)，求\(f(x)\)的极大值和极小值。
解析：
- 根据上题解析，已知\(f'(x) = 3x^2 - 3\)，令\(f'(x) = 0\)，解得\(x = \pm 1\)。
- 当\(x = -1\)时，\(f(x)\)取得极大值\(f(-1) = 3\)；
- 当\(x = 1\)时，\(f(x)\)取得极小值\(f(1) = -1\)。
解题技巧：求出函数的导数，令导数等于0，求出导数的零点，分析导数的符号，从而确定函数的极值。
二、数列
1. 等差数列
例题：已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n = 2n^2 + n\)，求\(a_1\)和公差\(d\)。
解析：
- 根据等差数列的前\(n\)项和公式\(S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\)，代入\(S_n = 2n^2 + n\)，得\(a_1 + a_n = 4n + 1\)。
- 当\(n = 1\)时，\(a_1 = 5\)；
- 当\(n = 2\)时，\(a_2 = 9\)；
- 公差\(d = a_2 - a_1 = 4\)。
解题技巧：根据等差数列的前\(n\)项和公式，代入已知条件，求出首项和公差。
2. 等比数列
例题：已知等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n = 2^n - 1\)，求\(a_1\)和公比\(q\)。
解析：
- 根据等比数列的前\(n\)项和公式\(S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}\)，代入\(S_n = 2^n - 1\)，得\(a_1(1 - q^n) = (2^n - 1)(1 - q)\)。
- 当\(n = 1\)时，\(a_1 = 1\)；
- 当\(n = 2\)时，\(q = 2\)。
解题技巧：根据等比数列的前\(n\)项和公式，代入已知条件，求出首项和公比。
三、立体几何
1. 空间几何体的体积
例题：已知长方体的长、宽、高分别为\(2\)、\(3\)、\(4\)，求长方体的体积。
解析：
- 长方体的体积公式为\(V = l \times w \times h\)，代入\(l = 2\)、\(w = 3\)、\(h = 4\)，得\(V = 24\)。
解题技巧：根据空间几何体的体积公式，代入已知条件，求出体积。
2. 空间几何体的表面积
例题：已知正方体的棱长为\(2\)，求正方体的表面积。
解析：
- 正方体的表面积公式为\(S = 6a^2\)，代入\(a = 2\)，得\(S = 24\)。
解题技巧：根据空间几何体的表面积公式，代入已知条件，求出表面积。
四、概率与统计
1. 古典概型
例题：袋中有\(5\)个红球、\(3\)个蓝球、\(2\)个绿球，从中随机取出\(3\)个球，求取出的\(3\)个球都是红球的概率。
解析：
- 所有可能的情况有\(C_{10}^3\)种，取出的\(3\)个球都是红球的情况有\(C_5^3\)种。
- 概率为\(P = \frac{C_5^3}{C_{10}^3} = \frac{1}{6}\)。
解题技巧：根据古典概型的概率公式，代入已知条件，求出概率。
2. 离散型随机变量的期望
例题：设离散型随机变量\(X\)的分布列为：
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & 1 & 2 & 3 \\ \hline P & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \hline \end{array} \]
求\(X\)的期望\(E(X)\)。
解析：
- 期望\(E(X) = 1 \times \frac{1}{3} + 2 \times \frac{1}{3} + 3 \times \frac{1}{3} = 2\)。
解题技巧：根据离散型随机变量的期望公式，代入已知条件，求出期望。
五、三角函数
1. 三角函数的图像与性质
例题：已知函数\(f(x) = \sin x\)，求\(f(x)\)的周期和单调区间。
解析：
- 周期为\(2\pi\)；
- 单调递增区间为\([-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi]\)，\(k \in \mathbb{Z}\)；
- 单调递减区间为\([\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi]\)，\(k \in \mathbb{Z}\)。
解题技巧：根据三角函数的图像与性质，分析函数的周期和单调区间。
2. 三角函数的恒等变换
例题：已知\(\sin \alpha = \frac{3}{5}\)，\(\cos \alpha = \frac{4}{5}\)，求\(\tan \alpha\)。
解析：
- \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}\)。
解题技巧：根据三角函数的恒等变换，代入已知条件，求出未知量。
六、解析几何
1. 直线方程
例题：已知直线过点\((2, 3)\)，斜率为\(2\)，求直线方程。
解析：
- 直线方程为\(y - 3 = 2(x - 2)\)，即\(2x - y - 1 = 0\)。
解题技巧：根据直线方程的点斜式，代入已知条件，求出直线方程。
2. 圆的方程
例题：已知圆心为\((2, 3)\)，半径为\(4\)，求圆的方程。
解析：
- 圆的方程为\((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16\)。
解题技巧：根据圆的方程的标准式，代入已知条件，求出圆的方程。
七、复数
1. 复数的代数形式
例题：已知复数\(z = 1 + 2i\)，求\(z\)的模和辐角。
解析：
- 模\(|z| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\)；
- 辐角\(\theta = \arctan \frac{2}{1} = \arctan 2\)。
解题技巧：根据复数的模和辐角公式，代入已知条件，求出模和辐角。
2. 复数的三角形式
例题：已知复数\(z = \sqrt{3} + \sqrt{3}i\)，求\(z\)的三角形式。
解析：
- \(z = 2\sqrt{3}(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3})\)。
解题技巧：根据复数的三角形式，代入已知条件，求出三角形式。