在数学的广阔天地中，高等数学如同璀璨的星辰，照亮了我们探索未知世界的道路。它不仅是自然科学和工程技术的基础，也是培养逻辑思维和抽象思维能力的重要工具。下面，就让我们一网打尽高等数学中的公式定理，轻松掌握数学的奥秘。
一、极限与连续
1. 极限的定义
极限是高等数学中最基本的概念之一。一个函数在某一点的极限，可以理解为当自变量无限接近该点时，函数值无限接近某个确定的值。
定义：设函数 ( f(x) ) 在点 ( x_0 ) 的某个去心邻域内有定义，如果存在一个常数 ( A )，使得对于任意给定的正数 ( \epsilon )，都存在一个正数 ( \delta )，使得当 ( 0 < |x - x_0| < \delta ) 时，都有 ( |f(x) - A| < \epsilon )，则称常数 ( A ) 为函数 ( f(x) ) 在点 ( x_0 ) 的极限。
2. 连续的定义
函数在某一点连续，意味着在该点的极限存在，并且等于函数在该点的函数值。
定义：设函数 ( f(x) ) 在点 ( x0 ) 的某个去心邻域内有定义，如果 ( \lim{x \to x_0} f(x) = f(x_0) )，则称函数 ( f(x) ) 在点 ( x_0 ) 连续。
二、导数与微分
1. 导数的定义
导数描述了函数在某一点的局部变化率。
定义：设函数 ( f(x) ) 在点 ( x0 ) 的某个去心邻域内有定义，如果极限 ( \lim{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} ) 存在，则称此极限为函数 ( f(x) ) 在点 ( x_0 ) 的导数，记为 ( f’(x_0) )。
2. 微分的定义
微分是导数的线性近似。
定义：设函数 ( f(x) ) 在点 ( x_0 ) 可导，则 ( f(x) ) 在点 ( x_0 ) 的微分 ( df(x_0) ) 是 ( f’(x_0) ) 与 ( dx ) 的乘积。
三、积分
1. 定积分的定义
定积分是求函数在某个区间上的累积总和。
定义：设函数 ( f(x) ) 在闭区间 ([a, b]) 上有定义，将区间 ([a, b]) 分成 ( n ) 个小区间，每个小区间的长度为 ( \Delta x_i )，在每个小区间上取一点 ( \xii )，构造和式 ( S = \sum{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i )，当 ( n ) 趋向于无穷大时，和式 ( S ) 的极限称为函数 ( f(x) ) 在区间 ([a, b]) 上的定积分，记为 ( \int_a^b f(x) \, dx )。
2. 不定积分的定义
不定积分是求函数的原函数。
定义：设函数 ( f(x) ) 在区间 ( I ) 上有定义，如果存在一个函数 ( F(x) )，使得 ( F’(x) = f(x) )，则称 ( F(x) ) 为 ( f(x) ) 在区间 ( I ) 上的一个原函数。
四、级数
1. 按项收敛的级数
按项收敛的级数是指级数的各项之和收敛。
定义：设级数 ( \sum_{n=1}^\infty a_n ) 的各项之和为 ( S_n = a_1 + a_2 + \cdots + an )，如果 ( \lim{n \to \infty} Sn ) 存在，则称级数 ( \sum{n=1}^\infty a_n ) 按项收敛。
2. 按项发散的级数
按项发散的级数是指级数的各项之和不收敛。
定义：如果级数 ( \sum_{n=1}^\infty a_n ) 的各项之和 ( Sn ) 不收敛，则称级数 ( \sum{n=1}^\infty a_n ) 按项发散。
五、线性代数
1. 矩阵的运算
矩阵的运算包括矩阵的加法、减法、乘法、转置等。
加法：设 ( A ) 和 ( B ) 是两个 ( m \times n ) 的矩阵，则它们的和 ( C = A + B ) 也是一个 ( m \times n ) 的矩阵，其中 ( C{ij} = A{ij} + B_{ij} )。
乘法：设 ( A ) 是一个 ( m \times n ) 的矩阵，( B ) 是一个 ( n \times p ) 的矩阵，则它们的乘积 ( C = AB ) 是一个 ( m \times p ) 的矩阵，其中 ( C{ij} = \sum{k=1}^n A{ik}B{kj} )。
转置：设 ( A ) 是一个 ( m \times n ) 的矩阵，则它的转置 ( A^T ) 是一个 ( n \times m ) 的矩阵，其中 ( (A^T){ij} = A{ji} )。
2. 线性方程组的求解
线性方程组的求解方法包括高斯消元法、克拉默法则等。
高斯消元法：通过初等行变换将线性方程组化为阶梯形矩阵，然后逐个求解每个方程。
克拉默法则：根据行列式的值判断线性方程组是否有解，以及解的类型。
六、常微分方程
1. 常微分方程的定义
常微分方程是描述函数及其导数之间关系的方程。
定义：设函数 ( y = f(x) ) 和它的导数 ( y’ )、( y” )、( y”’ ) 等之间满足某种关系，则称此方程为常微分方程。
2. 常微分方程的解法
常微分方程的解法包括分离变量法、积分因子法、变量变换法等。
分离变量法：将方程中的变量分离，然后分别对变量进行积分。
积分因子法：通过乘以一个积分因子，将方程化为可分离变量的形式。
变量变换法：通过适当的变量变换，将方程化为易于求解的形式。
通过以上对高等数学公式定理的介绍，相信你已经对这一领域有了更深入的了解。在今后的学习中，不断实践和探索，你将能够轻松掌握数学的奥秘。