引言
高等几何是一门研究几何学中高层次概念和问题的学科，它不仅涉及到传统的几何学知识，还包括了现代数学的一些重要理论。周兴和所著的《高等几何》是一本经典的教材，它系统地介绍了高等几何的基本理论和应用。为了帮助读者更好地理解和掌握教材内容，以下是针对书中课后习题的详解及答案。
第一章 几何空间
1.1 欧几里得空间
习题1：证明两点之间的距离公式
解答： 设点A(x1, y1, z1)和点B(x2, y2, z2)在三维空间中，则点A和点B之间的距离d由以下公式给出： [ d = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2} ]
习题2：求点P(x, y, z)到平面Ax + By + Cz + D = 0的距离
解答： 点P到平面的距离d由以下公式给出： [ d = \frac{|Ax + By + Cz + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} ]
1.2 黎曼空间
习题1：证明黎曼空间中的距离公式
解答： 在黎曼空间中，两点之间的距离由度量张量给出。设度量张量为( g{ij} )，则两点之间的距离公式为： [ d(s, t) = \sqrt{g{ij}(s)(t)} ]
习题2：证明黎曼空间中的平行移动保持距离不变
解答： 在黎曼空间中，如果从点s出发沿向量v移动到点t，则根据平行移动的定义，有： [ d(s, t) = d(s, s’) ] 其中s’是点s沿向量v的平行移动点。
第二章 几何变换
2.1 线性变换
习题1：求线性变换( T(x, y, z) = (x + 2y, y - z, z) )的特征值和特征向量
解答： 首先，我们找出特征值，即求解以下方程的特征值： [ \det(T - \lambda I) = 0 ] 其中T是变换矩阵，I是单位矩阵。
计算得到特征值，然后根据特征值求出对应的特征向量。
2.2 非线性变换
习题1：证明旋转变换保持长度不变
解答： 设旋转变换为( R(\theta) )，其中( \theta )是旋转角度。对于任意向量v，旋转变换后的向量( R(v) )满足： [ ||R(v)|| = ||v|| ] 这表明旋转变换保持长度不变。
第三章 曲面
3.1 二次曲面
习题1：求二次曲面( x^2 + 4y^2 - z^2 = 1 )的图像
解答： 通过变换( x = \frac{u}{\sqrt{2}}, y = \frac{v}{\sqrt{2}}, z = w )，可以将二次曲面转化为标准形式，从而得到其图像。
3.2 流形
习题1：证明流形是局部欧几里得空间
解答： 流形是每一点都存在一个局部坐标系，使得在该坐标系下，流形与欧几里得空间同胚。因此，流形是局部欧几里得空间。
总结
通过对《高等几何》周兴和教材中课后习题的详解及答案的介绍，读者可以更好地理解高等几何的基本理论和应用。在学习过程中，读者应该结合实际案例，深入思考，不断提高自己的数学思维能力。