Stolz定理是实分析中的一个重要定理，它在处理无穷大量极限问题时有着广泛的应用。本文将深入解析Stolz定理，并详细探讨其证明过程，由复旦数学家带来的精彩讲解。
引言
Stolz定理最初由奥地利数学家约瑟夫·Stolz于1870年提出，该定理是极限计算中的一个有力工具，特别是在计算形式为“0/0”或“∞/∞”的极限时显得尤为重要。它允许我们在某些情况下避免直接计算分式的极限，从而简化了极限的求解过程。
Stolz定理的定义
Stolz定理可以表述如下：
设 ( a_n ) 和 ( b_n ) 是两个实数数列，如果满足以下条件：
- ( an ) 单调递增且 ( \lim{n \to \infty} a_n = \infty )。
- ( bn ) 单调递增且 ( \lim{n \to \infty} b_n = \infty )。
- 对于所有 ( n )，( b_{n+1} - b_n \neq 0 )。
则如果极限 [ \lim{n \to \infty} \frac{a{n+1} - an}{b{n+1} - bn} ] 存在，那么极限 [ \lim{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} ] 也存在，并且这两个极限相等。
Stolz定理的证明
步骤一：引入辅助序列
为了证明Stolz定理，我们首先引入辅助序列 ( c_n = bn - b{n-1} )。根据条件3，我们知道 ( c_n \neq 0 ) 对于所有 ( n ) 都成立。
步骤二：变换原极限
我们需要证明的是： [ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{bn} = \lim{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - an}{b{n+1} - b_n} ]
将 ( b_n ) 写成 ( b_n = b_0 + c_1 + c_2 + \ldots + c_n )，其中 ( b_0 ) 是常数。因此，( a_n ) 可以表示为 ( a_n = a_0 + d_1 + d_2 + \ldots + d_n )，其中 ( dn = a{n+1} - a_n )。
步骤三：极限转换
我们考虑极限 [ \lim{n \to \infty} \frac{a{n+1} - an}{b{n+1} - b_n} ]
根据 ( bn ) 的表达式，我们可以将分母展开： [ b{n+1} - b_n = (b_0 + c_1 + \ldots + cn + c{n+1}) - (b_0 + c_1 + \ldots + cn) = c{n+1} ]
因此，原极限可以转换为： [ \lim{n \to \infty} \frac{a{n+1} - an}{c{n+1}} ]
步骤四：应用极限的性质
由于 ( a_n ) 和 ( bn ) 都单调递增，且 ( \lim{n \to \infty} an = \infty ) 和 ( \lim{n \to \infty} bn = \infty )，根据极限的性质，我们有： [ \lim{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - an}{c{n+1}} = \lim{n \to \infty} \frac{d{n+1}}{c_{n+1}} ]
由于 ( c{n+1} ) 不为零，我们可以进一步简化为： [ \lim{n \to \infty} \frac{d{n+1}}{c{n+1}} = \lim{n \to \infty} \frac{d{n+1}}{dn} \cdot \lim{n \to \infty} \frac{d_n}{c_n} ]
由于 ( dn = a{n+1} - an )，因此 ( \lim{n \to \infty} \frac{d_{n+1}}{d_n} = 1 )（因为 ( dn ) 的极限为无穷大）。因此，原极限等价于： [ \lim{n \to \infty} \frac{d_n}{c_n} ]
步骤五：证明完成
由于 ( d_n = an - a{n-1} ) 和 ( c_n = bn - b{n-1} )，我们可以将 ( \frac{d_n}{c_n} ) 表示为 ( \frac{a_n}{bn} )，从而得到： [ \lim{n \to \infty} \frac{d_n}{cn} = \lim{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} ]
这证明了Stolz定理的结论。
总结
Stolz定理在处理无穷大量极限问题时提供了一个强大的工具。通过以上分析，我们深入探讨了Stolz定理的定义和证明过程，并展示了如何应用该定理来解决实际数学问题。对于数学专业的学生和研究人员来说，理解和掌握Stolz定理是实分析学习中不可或缺的一部分。