引言
复变函数是数学中的一个重要分支，它不仅有着丰富的理论体系，而且在工程、物理、计算机科学等多个领域都有广泛的应用。严镇军教授作为该领域的知名学者，其习题解答具有很高的参考价值。本文将对严镇军教授的复变函数习题进行汇总解答，旨在帮助学习者更好地理解和掌握复变函数的相关知识。
第一章 复数与复变函数
1.1 复数的概念与运算
习题1：设复数 ( z = a + bi )，证明 ( z \cdot \overline{z} = |z|^2 )。
解答：
设复数 \( z = a + bi \)，其共轭复数为 \( \overline{z} = a - bi \)。
则 \( z \cdot \overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 + b^2 = |z|^2 \)。
因此，得证。
1.2 复变函数的定义与性质
习题2：证明复变函数 ( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ) 在点 ( z_0 ) 可微的充分必要条件是 ( u ) 和 ( v ) 在 ( z_0 ) 的偏导数存在且满足柯西-黎曼方程。
解答：
证明：设 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \) 在点 \( z_0 \) 可微，则存在 \( f'(z_0) \) 使得：
\[ f(z) - f(z_0) = f'(z_0)(z - z_0) + o(|z - z_0|) \]
由于 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 可微，\( u \) 和 \( v \) 在 \( z_0 \) 的偏导数存在，设 \( u_x, u_y, v_x, v_y \) 分别表示 \( u \) 和 \( v \) 对 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数。
则 \( f'(z_0) \) 可以表示为：
\[ f'(z_0) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = u_x + iv_x \]
\[ f'(z_0) = \frac{\partial u}{\partial y} - i\frac{\partial v}{\partial y} = u_y - iv_y \]
根据柯西-黎曼方程，有：
\[ u_x = v_y \]
\[ u_y = -v_x \]
因此，得证。
第二章 复变函数的积分
2.1 复变函数积分的定义与性质
习题3：证明复变函数 ( f(z) ) 在闭曲线 ( C ) 上积分为零的充分必要条件是 ( f(z) ) 在 ( C ) 内解析。
解答：
证明：设 \( f(z) \) 在闭曲线 \( C \) 上积分为零，即 \( \oint_C f(z) \, dz = 0 \)。
若 \( f(z) \) 在 \( C \) 内解析，则根据柯西定理，\( \oint_C f(z) \, dz = 0 \)。
反之，若 \( f(z) \) 在 \( C \) 内解析，则 \( f(z) \) 在 \( C \) 内无奇点，根据留数定理，\( \oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \sum \text{Res}(f, z_k) = 0 \)。
因此，得证。
第三章 复变函数的应用
3.1 复变函数在物理学中的应用
习题4：利用复变函数求解静电场中的电势。
解答：
在静电场中，电势 \( V \) 满足拉普拉斯方程：
\[ \nabla^2 V = 0 \]
假设电荷分布 \( \rho \) 是已知的，我们可以将电势 \( V \) 表示为复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)，其中 \( u \) 和 \( v \) 分别表示电势的实部和虚部。
通过求解拉普拉斯方程，我们可以得到 \( u \) 和 \( v \) 的表达式，进而得到电势 \( V \)。
具体求解过程涉及复变函数的解析方法，如留数定理等。
结语
本文对严镇军教授的复变函数习题进行了详细的解答汇总，希望能对学习者有所帮助。复变函数是一门深奥的数学学科，需要不断学习和实践才能掌握。希望读者能够在学习过程中不断探索，提高自己的数学素养。