引言
复变函数论是一门研究复数域上的函数及其性质的数学分支。它不仅具有重要的理论价值，而且在物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应用。第五版的《复变函数论》作为一本经典的教材，包含了丰富的练习题。以下是对该教材配套练习答案的详解，旨在帮助读者更好地理解和掌握复变函数论的相关知识。
第一章 复数与复变函数
1.1 复数的基本运算
- 题目示例：计算 ( (1 + 2i)(3 - 4i) )
- 答案详解：首先，根据复数的乘法规则进行计算： [ (1 + 2i)(3 - 4i) = 1 \cdot 3 + 1 \cdot (-4i) + 2i \cdot 3 + 2i \cdot (-4i) = 3 - 4i + 6i - 8i^2 ] 因为 ( i^2 = -1 )，所以： [ 3 - 4i + 6i - 8(-1) = 3 + 2i + 8 = 11 + 2i ] 答案为 ( 11 + 2i )。
1.2 复变函数的导数
- 题目示例：求函数 ( f(z) = e^z ) 在 ( z = 0 ) 处的导数。
- 答案详解：根据导数的定义，我们有： [ f’(0) = \lim{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} ] 利用 ( e^h ) 的泰勒展开，得： [ f’(0) = \lim{h \to 0} \frac{1 + h + \frac{h^2}{2!} + \cdots - 1}{h} = \lim{h \to 0} \left(1 + \frac{h}{2!} + \cdots \right) = 1 ] 答案为 1。
第二章 解析函数
2.1 解析函数的性质
- 题目示例：证明 ( f(z) = z^2 ) 是解析函数。
- 答案详解：因为 ( f(z) ) 可以表示为 ( u(x, y) + iv(x, y) )，其中 ( u(x, y) = x^2 - y^2 ) 和 ( v(x, y) = 2xy )。可以验证 ( u_x = 2x )，( u_y = -2y )，( v_x = 2y )，( v_y = 2x )。由于 ( u_x = v_y ) 且 ( u_y = -v_x )，所以 ( f(z) ) 是解析函数。
2.2 解析函数的级数表示
- 题目示例：将 ( f(z) = e^{z^2} ) 展开成级数。
- 答案详解：利用 ( e^z ) 的级数展开： [ e^{z^2} = 1 + z^2 + \frac{(z^2)^2}{2!} + \frac{(z^2)^3}{3!} + \cdots = 1 + z^2 + \frac{z^4}{2!} + \frac{z^6}{3!} + \cdots ] 答案为上述级数展开。
第三章 解析函数的积分
3.1 沿任意路径的积分
- 题目示例：计算积分 ( \int_{C} \frac{1}{z} dz )，其中 ( C ) 是单位圆 ( |z| = 1 )。
- 答案详解：根据柯西积分公式，对于 ( |z| > 1 )，我们有： [ \int_{C} \frac{1}{z} dz = 2\pi i ] 答案为 ( 2\pi i )。
3.2 高阶积分
- 题目示例：计算积分 ( \int_{C} z^3 dz )，其中 ( C ) 是单位圆 ( |z| = 1 )。
- 答案详解：根据复数的几何意义，我们有： [ \int{C} z^3 dz = \int{0}^{2\pi} (e^{i\theta})^3 i e^{i\theta} d\theta = i \int{0}^{2\pi} e^{4i\theta} d\theta ] 由于 ( e^{4i\theta} ) 在 ( [0, 2\pi] ) 上的积分为零，所以： [ \int{C} z^3 dz = 0 ] 答案为 0。
结论
以上是对《复变函数论》第五版配套练习的一些答案详解。通过对这些题目的练习，读者可以更好地理解复变函数论的基本概念和理论，并为进一步的学习打下坚实的基础。