在数学的世界里，复变函数是一个充满魅力的领域。它不仅为理论研究提供了丰富的工具，而且在工程、物理等多个领域都有广泛的应用。对于学习复变函数的学生来说，《复变函数第三版》是一本不可或缺的教材。下面，我将详细解答该教材中的习题，帮助大家轻松掌握解题技巧。
第一章：复数与复变函数
1.1 复数的概念与运算
解题思路：复数是实数和虚数的结合，可以通过平面直角坐标系中的点来表示。复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
例题：计算 \((3+4i) \times (2-5i)\)。
解答：
(3+4i) \times (2-5i) = 3 \times 2 + 3 \times (-5i) + 4i \times 2 + 4i \times (-5i)
= 6 - 15i + 8i - 20i^2
= 6 - 7i + 20 （因为 i^2 = -1）
= 26 - 7i
1.2 复变函数的定义与性质
解题思路：复变函数是定义在复数域上的函数，其形式与实变函数类似。复变函数具有连续性、可导性等性质。
例题：判断函数 \(f(z) = z^2\) 在 \(z = 0\) 处是否连续。
解答：
当 z 趋近于 0 时，f(z) = z^2 也趋近于 0。因此，f(z) 在 z = 0 处连续。
第二章：解析函数
2.1 解析函数的概念与性质
解题思路：解析函数是具有复导数的函数，具有连续性、可导性等性质。
例题：判断函数 \(f(z) = e^z\) 是否为解析函数。
解答：
e^z 的导数为 $e^z$，因此 $f(z) = e^z$ 是解析函数。
2.2 解析函数的级数展开
解题思路：解析函数可以表示为幂级数、三角级数等形式。
例题：将函数 \(f(z) = \frac{1}{1-z}\) 展开为幂级数。
解答：
f(z) = \frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^{\infty} z^n （当 |z| < 1 时）
第三章：复变函数的积分
3.1 复变函数积分的概念与性质
解题思路：复变函数积分是实变函数积分的推广，具有与实变函数积分类似的性质。
例题：计算积分 \(\int_{C} \frac{1}{z} dz\)，其中 \(C\) 为单位圆。
解答：
\int_{C} \frac{1}{z} dz = 2\pi i （根据柯西积分公式）
3.2 解析函数的积分表示
解题思路：解析函数的积分可以表示为函数在某点处的值与路径无关。
例题：证明 \(\int_{C} f(z) dz = 0\)，其中 \(f(z)\) 为解析函数。
解答：
由于 $f(z)$ 为解析函数，根据柯西积分定理，$\int_{C} f(z) dz = 0$。
第四章：留数定理与残数定理
4.1 留数定理
解题思路：留数定理是复变函数积分中的一个重要定理，用于计算某些复杂积分。
例题：计算积分 \(\int_{C} \frac{1}{z^2+1} dz\)，其中 \(C\) 为单位圆。
解答：
\int_{C} \frac{1}{z^2+1} dz = 2\pi i \times \text{留数} = 2\pi i \times \frac{1}{2i} = \pi
4.2 残数定理
解题思路：残数定理是留数定理的推广，用于计算某些复杂积分。
例题：计算积分 \(\int_{C} \frac{1}{z^3+1} dz\)，其中 \(C\) 为单位圆。
解答：
\int_{C} \frac{1}{z^3+1} dz = 2\pi i \times \text{残数} = 2\pi i \times \frac{1}{3} = \frac{2\pi i}{3}
通过以上对《复变函数第三版》习题的详细解答，相信大家已经对解题技巧有了更深入的理解。在学习过程中，要多加练习，不断提高自己的解题能力。祝大家学习愉快！