方阵行列式不为零，是线性代数中的一个重要性质。它不仅可以帮助我们判断一个方阵是否可逆，还能在解线性方程组等场合发挥巨大作用。下面，我们就来详细探讨方阵行列式不为零的妙用，并通过一些例题来加深理解。
一、方阵行列式不为零的条件
首先，我们要明白什么情况下方阵的行列式不为零。对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|。当且仅当A是可逆方阵时，即存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=In（其中In表示n阶单位矩阵），|A|才不为零。
二、方阵可逆条件及应用
1. 判断方阵是否可逆
如果一个n阶方阵的行列式不为零，那么这个方阵一定是可逆的。这是因为，根据可逆矩阵的定义，只要方阵的行列式不为零，就一定存在逆矩阵。
2. 解线性方程组
在求解线性方程组Ax=b时，如果A的行列式不为零，我们可以通过计算A的逆矩阵，得到x=A^-1b，从而快速得到方程组的解。
3. 矩阵乘积的行列式性质
对于两个n阶方阵A和B，如果它们的行列式都不为零，那么它们的乘积AB的行列式也不为零，即|AB|=|A||B|。
三、例题解析
例题1
已知方阵A：
A = | 1 2 3 |
| 4 5 6 |
| 7 8 9 |
判断A是否可逆。
解答：
首先，计算A的行列式|A|：
|A| = 1*(5*9 - 6*8) - 2*(4*9 - 6*7) + 3*(4*8 - 5*7)
= 1*(45 - 48) - 2*(36 - 42) + 3*(32 - 35)
= 1*(-3) - 2*(-6) + 3*(-3)
= -3 + 12 - 9
= 0
由于|A|=0，所以A不可逆。
例题2
已知方阵A：
A = | 1 2 3 |
| 4 5 6 |
| 7 8 9 |
求解线性方程组Ax=b，其中b为：
b = | 9 |
| 8 |
| 7 |
解答：
由于|A|≠0，A可逆。计算A的逆矩阵A^-1，然后得到x=A^-1b。
计算A的逆矩阵：
A^-1 = (1/|A|)*adj(A)
= (1/0)*adj(A)
由于|A|=0，A不可逆，所以A^-1不存在。
因此，线性方程组Ax=b无解。
四、总结
通过以上解析，我们可以看出，方阵行列式不为零的性质在实际应用中具有重要的价值。它不仅可以帮助我们判断方阵是否可逆，还可以在解线性方程组等场合发挥作用。在实际学习和应用中，我们应该熟练掌握这一性质，并结合具体例子加深理解。