方阵是数学中常见的概念，而行列式则是判断方阵是否可逆的关键。当方阵的行列式不为零时，该方阵是可逆的。这一性质在矩阵理论中非常重要，也是解决线性方程组问题的关键。下面，我将通过一些例题，帮助你轻松判断方阵行列式是否为零，从而确定方阵是否可逆。
例题一：判断以下方阵是否可逆
方阵A：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix} \]
解答：
首先，我们需要计算方阵A的行列式。根据行列式的计算方法，我们可以展开第三行：
\[ \text{det}(A) = 1 \times \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \\ \end{vmatrix} - 2 \times \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \\ \end{vmatrix} + 3 \times \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \\ \end{vmatrix} \]
计算每个小行列式：
\[ \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \\ \end{vmatrix} = 5 \times 9 - 6 \times 8 = 45 - 48 = -3 \]
\[ \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \\ \end{vmatrix} = 4 \times 9 - 6 \times 7 = 36 - 42 = -6 \]
\[ \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \\ \end{vmatrix} = 4 \times 8 - 5 \times 7 = 32 - 35 = -3 \]
代入计算：
\[ \text{det}(A) = 1 \times (-3) - 2 \times (-6) + 3 \times (-3) = -3 + 12 - 9 = 0 \]
由于方阵A的行列式为零，所以A不是可逆方阵。
例题二：判断以下方阵是否可逆
方阵B：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix} \]
解答：
同样地，我们需要计算方阵B的行列式。由于方阵B与例题一中的方阵A完全相同，所以它们的行列式也相同。
\[ \text{det}(B) = 1 \times \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \\ \end{vmatrix} - 2 \times \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \\ \end{vmatrix} + 3 \times \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \\ \end{vmatrix} \]
计算每个小行列式：
\[ \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \\ \end{vmatrix} = 5 \times 9 - 6 \times 8 = 45 - 48 = -3 \]
\[ \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \\ \end{vmatrix} = 4 \times 9 - 6 \times 7 = 36 - 42 = -6 \]
\[ \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \\ \end{vmatrix} = 4 \times 8 - 5 \times 7 = 32 - 35 = -3 \]
代入计算：
\[ \text{det}(B) = 1 \times (-3) - 2 \times (-6) + 3 \times (-3) = -3 + 12 - 9 = 0 \]
由于方阵B的行列式为零，所以B不是可逆方阵。
总结
通过以上两个例题，我们可以看到，当方阵的行列式为零时，该方阵不是可逆的。在实际应用中，我们可以利用行列式的计算方法来判断方阵是否可逆。记住，方阵行列式不为零的方阵可逆，这一性质对于解决线性方程组等问题具有重要意义。希望这些例题能够帮助你轻松判断方阵是否可逆。