在概率论与数理统计中，二项分布是一个非常重要的概念，它描述了在固定次数的独立实验中，成功次数的概率分布。下面，我们将解析一些关于二项分布的常见问题，并提供相应的解答实例。
问题一：什么是二项分布？
解答： 二项分布是一种离散概率分布，它描述了在n次独立的伯努利试验中，成功次数X的概率分布。其中，每次试验只有两种可能的结果：成功或失败，成功的概率为p，失败的概率为q（q = 1 - p）。
问题二：二项分布的公式是什么？
解答： 二项分布的概率质量函数（PMF）可以表示为：
[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} ]
其中，( \binom{n}{k} ) 是组合数，表示从n次试验中选择k次成功的组合方式数量。
问题三：如何计算二项分布的均值和方差？
解答： 二项分布的均值（期望值）和方差分别为：
[ E(X) = np ] [ Var(X) = np(1-p) ]
其中，n是试验次数，p是每次试验成功的概率。
问题四：二项分布的标准差是多少？
解答： 二项分布的标准差可以通过方差开方得到：
[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} ]
解答实例一：计算某次考试中，至少获得60分的概率
实例描述： 某次考试共10题，每题10分，学生每次答对一题得10分，答错得0分。学生每次答题成功的概率为0.7，求该学生在这次考试中至少获得60分的概率。
解答：
- 确定参数：n = 10，p = 0.7，X ≥ 6。
- 计算：使用二项分布的累积分布函数（CDF）计算P(X ≥ 6)。
- 公式：[ P(X \geq 6) = 1 - P(X < 6) = 1 - \sum_{k=0}^{5} \binom{10}{k} 0.7^k (1-0.7)^{10-k} ]
- 计算结果：通过计算，得到P(X ≥ 6) ≈ 0.9999。
解答实例二：在n次独立实验中，至少成功k次的概率
实例描述： 在10次独立实验中，每次实验成功的概率为0.5，求至少成功6次的概率。
解答：
- 确定参数：n = 10，p = 0.5，X ≥ 6。
- 计算：使用二项分布的CDF计算P(X ≥ 6)。
- 公式：[ P(X \geq 6) = 1 - P(X < 6) = 1 - \sum_{k=0}^{5} \binom{10}{k} 0.5^k (1-0.5)^{10-k} ]
- 计算结果：通过计算，得到P(X ≥ 6) ≈ 0.623。
通过以上解析及解答实例，希望读者对二项分布有了更深入的了解。在实际应用中，二项分布可以用于解决各种问题，如产品质量检验、医学研究、市场调查等。