6.1 习题解析与答案
习题1：证明欧几里得空间中的开球是开集
解析： 在欧几里得空间中，开球定义为以某一点为中心，以某一半径为距离的所有点的集合。要证明开球是开集，需要证明对于开球中的任意一点，都存在一个包含该点的开球完全位于开球内部。
答案： 设 ( B_r(p) ) 是以点 ( p ) 为中心，半径为 ( r ) 的开球。对于 ( Br(p) ) 中的任意一点 ( q )，存在一个正数 ( \epsilon )，使得 ( B{\epsilon}(q) \subseteq B_r(p) )。因此，开球 ( B_r(p) ) 是开集。
习题2：证明有限积拓扑是拓扑
解析： 有限积拓扑是指由有限个拓扑空间通过笛卡尔积得到的拓扑。要证明有限积拓扑是拓扑，需要证明它满足拓扑的三个公理。
答案： 设 ( {Xi}{i=1}^n ) 是有限个拓扑空间，( X = \prod_{i=1}^n X_i ) 是它们的笛卡尔积。对于任意有限子集 ( {Ui}{i=1}^n ) 和 ( {Vi}{i=1}^n ) ，它们的笛卡尔积 ( \prod_{i=1}^n Ui ) 和 ( \prod{i=1}^n V_i ) 都是开集。因此，有限积拓扑是拓扑。
6.2 习题解析与答案
习题3：证明连续映射的逆像仍然是开集
解析： 设 ( f: X \rightarrow Y ) 是一个连续映射，( U ) 是 ( Y ) 中的一个开集。要证明 ( f^{-1}(U) ) 是 ( X ) 中的一个开集，需要证明对于 ( f^{-1}(U) ) 中的任意一点 ( x )，都存在一个包含 ( x ) 的开集完全位于 ( f^{-1}(U) ) 内部。
答案： 设 ( x \in f^{-1}(U) )，则 ( f(x) \in U )。由于 ( U ) 是开集，存在一个包含 ( f(x) ) 的开集 ( V \subseteq U )。由于 ( f ) 是连续映射，存在一个包含 ( x ) 的开集 ( W \subseteq X )，使得 ( f(W) \subseteq V )。因此，( W \subseteq f^{-1}(U) )，所以 ( f^{-1}(U) ) 是开集。
习题4：证明同胚映射是连续映射
解析： 设 ( f: X \rightarrow Y ) 是一个同胚映射，即 ( f ) 是双射且 ( f^{-1} ) 也是连续映射。要证明 ( f ) 是连续映射，需要证明对于 ( Y ) 中的任意开集 ( U )，( f^{-1}(U) ) 是 ( X ) 中的一个开集。
答案： 设 ( U ) 是 ( Y ) 中的一个开集，由于 ( f^{-1} ) 是连续映射，( (f^{-1})^{-1}(U) = f(U) ) 是 ( X ) 中的一个开集。因此，( f ) 是连续映射。
6.3 习题解析与答案
习题5：证明连通空间的子空间也是连通空间
解析： 设 ( X ) 是一个连通空间，( Y ) 是 ( X ) 的一个子空间。要证明 ( Y ) 也是连通空间，需要证明 ( Y ) 中任意两个非空开集的并集等于 ( Y ) 本身。
答案： 设 ( U ) 和 ( V ) 是 ( Y ) 中任意两个非空开集，它们的并集 ( U \cup V ) 是 ( X ) 中的一个开集。由于 ( X ) 是连通空间，( U \cup V ) 不能同时包含 ( Y ) 的非空开集。因此，( U \cup V = Y )，所以 ( Y ) 是连通空间。
习题6：证明紧空间中的开覆盖具有有限子覆盖
解析： 设 ( X ) 是一个紧空间，( {Ui}{i \in I} ) 是 ( X ) 中的一个开覆盖。要证明 ( {Ui}{i \in I} ) 具有有限子覆盖，需要证明存在一个有限子集 ( {U_{i1}, U{i2}, \ldots, U{in}} ) ，使得 ( \bigcup{j=1}^n U_{i_j} = X )。
答案： 由于 ( X ) 是紧空间，( {Ui}{i \in I} ) 的任意有限子集都是 ( X ) 的一个覆盖。因此，存在一个有限子集 ( {U_{i1}, U{i2}, \ldots, U{in}} ) ，使得 ( \bigcup{j=1}^n U_{i_j} = X )。因此，( {Ui}{i \in I} ) 具有有限子覆盖。