数学，作为一门逻辑严谨的学科，充满了挑战与乐趣。从小学到大学，数学证明和例题是检验我们逻辑思维和解决问题的能力的重要方式。下面，我将为你介绍一些经典证明例题，帮助你更好地理解数学的奥秘。
小学阶段
1. 鸡兔同笼问题
问题：一个笼子里有鸡和兔，共35只，头数45个。问鸡和兔各有多少只？
解答： 设鸡有x只，兔有y只，则有以下方程组：
x + y = 35
x + 2y = 45
解这个方程组，我们得到：
x = 15
y = 20
所以，鸡有15只，兔有20只。
2. 等差数列求和
问题：一个等差数列的首项为2，公差为3，求前10项的和。
解答： 等差数列前n项和的公式为：
S_n = n(a_1 + a_n) / 2
其中，a_1为首项，a_n为第n项，n为项数。
将首项a_1=2，公差d=3，项数n=10代入公式，得到：
S_10 = 10(2 + 2 + 9 * 3) / 2 = 190
所以，前10项的和为190。
初中阶段
1. 相似三角形
问题：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，求证：△ABC∽△DEF。
证明： 根据相似三角形的判定条件，如果两个三角形有两个角分别相等，则这两个三角形相似。
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，因此△ABC∽△DEF。
2. 平行四边形对角线
问题：在平行四边形ABCD中，求证：对角线AC和BD互相平分。
证明： 在平行四边形ABCD中，对边AB和CD平行，对边BC和AD平行。
根据平行线性质，∠BAC=∠CDA，∠ABC=∠ADC。
因此，三角形ABC和三角形CDA的两边分别相等，且夹角相等，根据SSA准则，△ABC≌△CDA。
所以，AC和BD互相平分。
高中阶段
1. 极限的证明
问题：证明：当x→0时，(sinx/x)→1。
证明： 设f(x) = sinx/x，要证明当x→0时，f(x)→1。
对于任意ε>0，要证明存在δ>0，使得当0<|x|<δ时，|f(x) - 1|<ε。
取δ=ε，当0<|x|<δ时，有：
|f(x) - 1| = |sinx/x - 1| = |sinx - x| / |x|
由泰勒公式，当x→0时，sinx ≈ x，所以：
|sinx - x| / |x| ≈ |x - x| / |x| = 0 < ε
因此，当x→0时，(sinx/x)→1。
2. 函数的单调性
问题：证明：函数f(x) = x^3 - 3x在(-∞, +∞)上单调递增。
证明：
设任意x1、x2∈(-∞, +∞)，且x1 由于x2 - x1 > 0，且x2^2 + x1x2 + x1^2 - 3 > 0（因为x1、x2为实数），所以f(x2) - f(x1) > 0。 因此，函数f(x) = x^3 - 3x在(-∞, +∞)上单调递增。 通过以上经典证明例题，相信你会在数学的道路上越走越远，不再迷茫。f(x2) - f(x1) = (x2^3 - 3x2) - (x1^3 - 3x1) = (x2 - x1)(x2^2 + x1x2 + x1^2 - 3)